《大話資料結構》第2章 演算法基礎 2.8 函數的漸近增長_大話資料結構

2.8 函數的漸近增長

        我們現在來判斷一下，兩個演算法A和B哪個更好。假設兩個演算法的輸入規模都是n，演算法A要做2n + 3次操作，你可以理解為先有一個n次的迴圈，執行完成後，再有一個n次迴圈，最後有三次賦值或運算，共2n + 3次操作。演算法B要做3n + 1次操作。你覺得它們誰更快呢。
        準確說來，答案是不一定的（如表2-8-1所示）。

        當n = 1時，演算法A效率不如演算法B（次數比演算法B要多一次）。而當n = 2時，兩者效率相同；當n > 2時，演算法A就開始優於演算法B了，隨著n的增加，演算法A要越來越好過演算法B了（執行的次數比Ｂ要少）。於是我們可以得出結論，演算法A總體上要好過演算法B。
        此時我們給出這樣的定義，輸入規模n在沒有限制的情況下，只要超過一個數值N，這個函數就總是大於另一個函數。我們稱函數是漸近增長的。

        函數的漸近增長：給定兩個函數f(n)和g(n)，如果存在一個整數N，使得對於所有的n > N，f(n)總是比g(n)大，那麼，我們說f(n)的增長漸近快於g(n)。

        從中我們發現，隨著n的增大，後面的 +3還是 +1其實是不影響最終的演算法變化的，例如演算法A’與演算法B’。所以，我們可以忽略這些加法常數。後面的例子，這樣的常數被忽略的意義可能會更加明顯。
        我們來看第二個例子。演算法C是4n + 8，演算法D是2n2 + 1（如表2-8-2所示）。

        當n < = 3的時候，演算法C要差於演算法D（因為演算法C次數比較多），但當n > 3後，演算法C的優勢就越來越優於演算法D了，到後來更是遠遠勝過。而當後面的常數去掉後，我們發現其實結果沒有發生改變。甚至我們再觀察發現，哪怕去掉與n相乘的常數，這樣的結果也沒發生改變，演算法C’ 的次數隨著n的增長，還是遠小於演算法D’。也就是說，與最高次項相乘的常數並不重要。
        我們再來看第三個例子。演算法E是2n2 + 3n + 1，演算法F是2n3 + 3n + 1（如表2-8-3所示）。

        當n = 1的時候，演算法E與演算法F結果相同，但當n > 1後，演算法E的優勢就要開始優於演算法F，隨著n的增大，差異非常明顯。通過觀察發現，最高次項的指數大的，函數隨著n的增長，結果也會變得增長特別快。
        我們來看最後一個例子。演算法G是2n2，演算法H是3n + 1，演算法I是2n2 + 3n + 1（如表2-8-4所示）。

        這組資料應該就看得很清楚。當n的值越來越大時，你會發現，3n+1已經沒法和2n2的結果相比較，最終幾乎可以忽略不計。也就是說，隨著n值變得非常大以後，演算法G其實已經很趨近於演算法I。於是我們可以得到這樣一個結論，判斷一個演算法的效率時，函數中的常數和其他次要項常常可以忽略，而更應該關注主項（最高階項）的階數。
        判斷一個演算法好不好，我們只通過少量的資料是不能做出準確判斷的。根據剛才的幾個範例，我們發現，如果我們可以對比這幾個演算法的關鍵執行次數函數的漸近增長性，基本就可以分析出，某個演算法，隨著n的增大，它會越來越優於另一演算法，或者越來越差於另一演算法。這其實就是事前估算方法的理論依據，通過演算法時間複雜度來估算演算法時間效率。

出處：http://www.cnblogs.com/cj723/archive/2011/03/05/1964884.html