二分與三分

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二分與三分

　　(寫的很早忘了發布了...)今天高二的學長學姐們進行了二分和三分的測試(又名一本通課後題測試)，感覺這個好有意思~

　　關於什麼是二分，三分，先咕咕咕了，來看一道題。

　　燈泡：https://loj.ac/problem/10016

　　

　　題意概述：給出$H,h,D$,求陰影的最長長度(包括地上的和牆上的)。

　　有種初中數學的既視感。

　　解：設燈泡為$A$，人頭為$B$，串連$AB$並延長，與地面的延長線交於點$C$.

　　

　　

　　

　　於是就結束了...嗎？

　　還有一種可能就是影子並沒有到牆上去，但是影響不大，兩個函數疊加起來還是單峰的，似乎就是那種對勾函數？　

　　

 1 # include <cstdio> 2 # include <iostream> 3  4 using namespace std; 5  6 int T; 7 double H,h,d,a1,a2; 8 double ans,l,r,lmid,rmid; 9 10 double f (double x)11 {12     double ans=0,a,b;13     b=h*(d-x)/(H-h);14     if(b<=x)15         return b;16     ans+=x;17     a=(x*H-d*h)/(h-H);18     ans+=a*h/(x+a);19     return ans;20 }21 22 int main()23 {24     scanf("%d",&T);25     while (T--)26     {27         scanf("%lf%lf%lf",&H,&h,&d);28         l=0,r=d,ans=0;29         while (r-l>=0.0001)30         {31             lmid=l+(r-l)/3.0;32             rmid=r-(r-l)/3.0;33             a1=f(lmid);34             a2=f(rmid);35             if(f(lmid)<f(rmid))36                 l=lmid;37             else 38                 r=rmid;39         }40         printf("%.3lf\n",f(l));41     }42     return 0;43 }

燈泡

 

　　迎風舞:https://www.cnblogs.com/shzr/p/9751719.html

 

　　傳送帶:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2571

　　題意概述:給定平面上的兩條線段,在每條上移動的速度分別是$a$,$b$,也可以脫離線段到平面上走,同樣有一個速度$c$,求從第一條線段上的$A$點到另一條上的$D$點的最短距離.

　　首先想到的是貪心...如果平面上走的快就到面上去,如果線上更快就線上上走,然而這個顯然是錯的,因為有時雖然線上走的快,但是卻越走越偏?

　　最終的答案應該是在起始線段上走一段,再在平面上走一段到達終點線段,再在那條線段上一直走到終點.先考慮一個比較簡單的問題,如果只是平面上有一條線段,求從某個點到線段端點的最小距離怎麼做?列方程發現是一個二次函數,可以求出係數來求極值,也可以三分.現在考慮起始點不固定的情況:如果對於每個起始點都求出最小距離,可以視為一個關於起始點的函數.首先這個函數應該是連續的,所以要是想不明白上類比退火也行,顯然它不一定是單調的,但是應該也不是特別奇怪的形狀,嚴謹的證明其實我也不會,但是可以感受一下.最優解肯定是存在的,而且起始點越偏離最優解答案就越劣.為什麼?以下是胡亂證明,不保證正確:起始點移動一點,到達點也會相應的移動一些,在很小的範圍內這種移動可能是單調的,但是過了某一個點之後就會往反方向移動?

　　

　　總之網上也沒找到好的證明,就這樣吧.

　　注意:有可能某一條線段退化成一個點,三分還沒開始就退出了...可以考慮換成控制三分次數的做法.

　　

 1 # include <cstdio> 2 # include <iostream> 3 # include <cmath> 4 # include <algorithm> 5  6 using namespace std; 7  8 const int maxn=300; 9 int ax,ay,bx,by;10 int cx,cy,dx,dy;11 double p,q,r;12 double la,lb,L,R,lmid,rmid;13 int cnt=maxn;14 15 inline double l (double len,double x,double y)16 {17     double ans=0,x_,y_;18     x_=cx,y_=cy;19     if(lb) x_=len*(dx-cx)/lb+cx;20     if(lb) y_=len*(dy-cy)/lb+cy;21     ans+=sqrt((x_-dx)*(x_-dx)+(y_-dy)*(y_-dy))/q;22     ans+=sqrt((x-x_)*(x-x_)+(y-y_)*(y-y_))/r;23     return ans;    24 }25 26 inline double f (double len)27 {28     double L=0,R=lb,lmid,rmid,x,y,l1;29     x=ax,y=ay;30     if(la) x=len*(bx-ax)/la+ax;31     if(la) y=len*(by-ay)/la+ay;32     l1=sqrt((x-ax)*(x-ax)+(y-ay)*(y-ay))/p;33     int cnt=maxn;34     while (cnt)35     {36         lmid=L+(R-L)/3.0;37         rmid=R-(R-L)/3.0;38         if(l(lmid,x,y)>l(rmid,x,y))39             L=lmid;40         else R=rmid;41         cnt--;42     }43     return l(L,x,y)+l1;44 }45 46 int main()47 {48     scanf("%d%d%d%d",&ax,&ay,&bx,&by);49     scanf("%d%d%d%d",&cx,&cy,&dx,&dy);50     scanf("%lf%lf%lf",&p,&q,&r);51     la=sqrt((ax-bx)*(ax-bx)+(ay-by)*(ay-by));52     lb=sqrt((cx-dx)*(cx-dx)+(cy-dy)*(cy-dy));53     L=0,R=la;54     while (cnt)55     {56         lmid=L+(R-L)/3.0;57         rmid=R-(R-L)/3.0;58         if(f(lmid)>f(rmid))59             L=lmid;60         else R=rmid;61         cnt--;62     }63     printf("%.2lf",f(R));64     return 0;65 }

傳送帶

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二分與三分