二進位的計算（電腦為什麼採用補碼儲存資料）

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這裡先將二進位的計算可以分為兩類，加減運算與乘除運算，本篇討論的是加減運算。

 

（一）預備知識——資料在電腦的儲存與表示

從一個問題入手：java中byte(1位元組，8位)的取值範圍為：-2^7<=取值範圍<=2^7-1，或者寫成-128<=取值範圍<=127，為什麼呢？

疑問：按照我們一般認為，如果8位中一位作為符號，那麼應該是11111111<=取值範圍<=01111111，或者寫成-127<=取值範圍<=127，-128從何而來？

 

首先從原碼講起，原碼即為電腦中對數值的二進位表示，如 5用二進位表示為0000 0101 ；

其次就是反碼，顧名思義就是取反，對於正數來說，反碼與原碼相同；對於負數來說，反碼為原碼的各位取反（符號位除外），如（0011 0111）反= 0011 0111  （1101 0010）反= 1010 1101 ；

再次就是補碼，電腦中，數值一律用補碼錶示和儲存的，正數的補碼與原碼相同，負數的補碼為“其反碼+1”，如（0101 1101）補=0101 1101  （1101 0010）補=1010 1110

 

關於補碼，我們做進一步解釋：

 （1）化減為加：

由於計算中的CPU只有加法器，沒有減法器，所以在電腦採用原碼做減法是會存在這樣的問題：對於1-1=0

看做1+（-1）=0 二進位表示 0001+1001=1001 變成了十進位的負1而不是0。補碼的出現很好的解決了這個問題，由於採用補碼運算，則補碼加法成為：[X+Y]補 = [X]補 + [Y]補同時，補碼的減法變為：[X-Y]補 = [X]補 - [Y]補 = [X]補 + [-Y]補 ；在此我們以減法為例說明補碼的優勢，還以上述為題為例：（0001）補+（1001）補 = 0001 + 1111 = 0000 （最高位的進位省略），這樣就順利得到了0

 （2）10000000與00000000都是零嗎？——關於-128的由來

補碼還解決了原碼中存在兩個0 的問題（即+0 和 -0），以8進位為例，java中byte的取值範圍應該是-127~ -0和+0~ 127 即存在-0和+0 ，但是在兩個0轉換為補碼後，分別為10000000和00000000,00000000它還是0，但是我們人為地規定10000000表示-128，這就是上面取值範圍中-128的由來。這裡再強調一下，10000000和00000000都是補碼，而不是原碼。

（3）一開始的問題，我們得出了“符合邏輯”的疑問，這個問題又出在哪？

其實問題出在，我們一直在用原碼在看問題，而不是補碼。這裡先舉一個我再微博中說過的例子，形象地說明一下什麼是補碼：

“時鐘的例子：0時和6時差（10-6）=4時（順時針），但是你也可以這樣寫（10+6）-12=4時（逆時針），後一個式子中的6就是“補碼”，12表示“定長”，減12表示“溢出”。“定長”和“溢出”也是“化減為加”的關鍵。這是一個從高維空間看低維空間而變得更加簡潔的典型。”

我們再用一個實際的例子說明一下如何用“高維看低維”：

類比時鐘的例子，我們將表中的補碼稍微轉換一下位置，寫在一維數軸上，再將數軸收尾相連，就形成了一個新的“時鐘圓盤”。

那麼我們來試試一個例子：3-1=（011-001）原碼運算=（011+111）補碼運算=010=2

也就是說我們可以寫成3-1=2（順時針運算），也可以寫3+7-8=2（逆時針運算）

這就是用逾時空理論，從高維去看地位的一種解釋方法。

（二）加減法運算

（1）原碼到補碼的轉化：符號位是要單獨提取出來的，不參與“取反加一”。如：

（10000000）原轉化為補碼：

a.將0000000取反加一後，等於10000000

b.因為a得到的超過了七位，去掉a中10000000的1，再將題目中1給不上去。這裡強調的是題目中的1和a中的1是不同的。

（2）補碼的運算是連同符號位一起運算的。這裡順便提一下，二進位乘法的運算子號跟十進位乘法一樣，符號位另算。

 

 

 

二進位的計算（電腦為什麼採用補碼儲存資料）