二分匹配演算法總結

一、二分圖最大匹配
        二分圖最大匹配的經典匈牙利演算法是由Edmonds在1965年提出的，演算法的核心就是根據一個初始匹配不停的找增廣路，直到沒有增廣路為止。
       匈牙利演算法的本質實際上和基於增廣路特性的最大流演算法還是相似的，只需要注意兩點：（一）每個X節點都最多做一次增廣路的起點；（二）如果一個Y節點已經匹配了，那麼增廣路到這兒的時候唯一的路徑是走到Y節點的匹配點（可以回憶最大流演算法中的後向邊，這個時候後向邊是可以增流的）。
       找增廣路的時候既可以採用dfs也可以採用bfs，兩者都可以保證O(nm)的複雜度，因為每找一條增廣路的複雜度是O(m)，而最多增廣n次，dfs在實際實現中更加簡短。

二分圖最大匹配的匈牙利演算法

        二分圖是這樣一個圖，它的頂點可以分類兩個集合X和Y，所有的邊關聯在兩個頂點中，恰好一個屬於集合Ｘ，另一個屬於集合Ｙ。

最大匹配： 圖中包含邊數最多的匹配稱為圖的最大匹配。

完美匹配： 如果所有點都在匹配邊上，稱這個最大匹配是完美匹配。

最小覆蓋： 最小覆蓋要求用最少的點（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）讓每條邊都至少和其中一個點關聯。可以證明：最少的點（即覆蓋數）＝最大匹配數

最小路徑覆蓋：用盡量少的不相交簡單路徑覆蓋有向非循環圖Ｇ的所有結點。解決此類問題可以建立一個二分圖模型。把所有頂點i拆成兩個：Ｘ結點集中的i和Y結點集中的i',如果有邊i->j，則在二分圖中引入邊i->j'，設二分圖最大匹配為m,則結果就是n-m。

最大獨立集問題： 在Ｎ個點的圖G中選出m個點，使這m個點兩兩之間沒有邊．求m最大值． 如果圖Ｇ滿足二分圖條件，則可以用二分圖匹配來做．最大獨立集點數 = N - 最大匹配數

二、Hopcroft-Karp演算法

        SRbGa很早就介紹過這個演算法，它可以做到O(sqrt(n)*e)的時間複雜度，並且在實際使用中效果不錯而且演算法本身並不複雜。
     Hopcroft-Karp演算法是Hopcroft和Karp在1972年提出的，該演算法的主要思想是在每次增廣的時候不是找一條增廣路而是同時找幾條點不相交的最短增廣路，形成極大增廣路集，隨後可以沿著這幾條增廣路同時進行增廣。
      可以證明在尋找增廣路集的每一個階段所尋找到的最短增廣路都具有相等的長度，並且隨著演算法的進行最短增廣路的長度是越來越長的，更進一步的分析可以證明最多隻需要增廣ceil(sqrt(n))次就可以得到最大匹配（證明在這裡略去）。
     因此現在的主要難度就是在O(e)的時間複雜度內找到極大最短增廣路集，思路並不複雜，首先從所有X的未蓋點進行BFS，BFS之後對每個X節點和Y節點維護距離標號，如果Y節點是未蓋點那麼就找到了一條最短增廣路，BFS完之後就找到了最短增廣路集，隨後可以直接用DFS對所有允許弧(dist[y]=dist[x]+1，可以參見高流推進HLPP的實現)進行類似於匈牙利中尋找增廣路的操作，這樣就可以做到O(m)的複雜度。
     實現起來也並不複雜，對於兩邊各50000個點，200000條邊的二分圖最大匹配可以在1s內出解，效果很好：）

三、二分圖最優匹配

       二分圖最優匹配的經典演算法是由Kuhn和Munkres獨立提出的KM演算法，值得一提的是最初的KM演算法是在1955年和1957年提出的，因此當時的KM演算法是以矩陣為基礎的，隨著匈牙利演算法被Edmonds提出之後，現有的KM演算法利用匈牙利樹可以得到更漂亮的實現。
     KM演算法中的基本概念是可行頂標(feasible vertex labeling)，它是節點的實函數並且對於任意弧(x,y)滿足l(x)+l(y)≥w(x,y)，此外一個概念是相等子圖，它是G的一個產生子圖，但是只包含滿足l(xi)+l(yj)=w(xi,yj)的所有弧(xi,yj)。
      有定理：如果相等子圖有完美匹配，那麼該匹配是最大權匹配，證明非常直觀也非常簡單，反設其他匹配是最優匹配，它的權必然比相等子圖的完美匹配的權要小。
      KM演算法主要就是控制了怎樣修改可行頂標的策略使得最終可以達到一個完美匹配，首先任意設定可行頂標（如每個X節點的可行頂標設為它出發的所有弧的最大權，Y節點的可行頂標設為0），然後在相等子圖中尋找增廣路，找到增廣路就沿著增廣路增廣。
       而如果沒有找到增廣路呢，那麼就考慮所有現在在匈牙利樹中的X節點（記為S集合），所有現在在匈牙利樹中的Y節點（記為T集合），考察所有一段在S集合，一段在not T集合中的弧，取
      delta = min {l(xi)+l(yj)-w(xi,yj),xi ∈ S, yj ∈ not T}
      明顯的，當我們把所有S集合中的l(xi)減少delta之後，一定會有至少一條屬於(S,not T)的邊進入相等子圖，進而可以繼續擴充匈牙利樹，為了保證原來屬於(S,T)的邊不退出相等子圖，把所有在T集合中的點的可行頂標增加delta。
      隨後匈牙利樹繼續擴充，如果新加入匈牙利樹的Y節點是未蓋點，那麼找到增廣路，否則把該節點的對應的X匹配點加入匈牙利樹繼續嘗試增廣。
       複雜度分析：由於在不擴大匹配的情況下每次匈牙利樹做如上調整之後至少增加一個元素，因此最多執行n次就可以找到一條增廣路，最多需要找n條增廣路，故最多執行n^2次修改頂標的操作，而每次修改頂標需要掃描所有弧，這樣修改頂標的複雜度就是O(n^2)的，總的複雜度是O(n^4)的。
       事實上我現在看到的幾個版本的實現都是這樣實現的，但是實際效果還不錯，因為這個界通常很難達到。
      對於not T的每個元素yj，定義鬆弛變數slack(yj) = min{l(xi)+l(yj)-w(xi,yj),xi ∈ S}，很明顯的每次的delta=min{slack(yj),yj∈ not T}，每次增廣之後用O(n^2)的時間計算所有點的初始slack，由於生長匈牙利樹的時候每條弧的頂標增量相同，因此修改每個slack需要常數時間（注意在修改頂標後和把已蓋Y節點對應的X節點加入匈牙利樹的時候是需要修改slack的）。這樣修改所有slack值時間是O(n)的，每次增廣後最多修改n次頂標，那麼修改頂標的總時間降為O(n^2)，n次增廣的總時間複雜度降為O(n^3)。事實上我這樣實現之後對於大部分的資料可以比O(n^4)的演算法快一倍左右。

四、二分圖的相關性質

      本部分內容主要來自於SRbGa的黑書，因為比較簡單，僅作提示性敘述。
      (1) 二分圖的最大匹配數等於最小覆蓋數，即求最少的點使得每條邊都至少和其中的一個點相關聯，很顯然直接取最大匹配的一段節點即可。
     (2) 二分圖的獨立數等於頂點數減去最大匹配數，很顯然的把最大匹配兩端的點都從頂點集中去掉這個時候剩餘的點是獨立集，這是|V|-2*|M|，同時必然可以從每條匹配邊的兩端取一個點加入獨立集並且保持其獨立集性質。
       (3) DAG的最小路徑覆蓋，將每個點拆點後作最大匹配，結果為n-m，求具體路徑的時候順著匹配邊走就可以，匹配邊i→j',j→k',k→l'....構成一條有向路徑。

五、穩定婚姻問題

       穩定婚姻問題是一個很有意思的匹配問題，有n位男士和n位女士，每一個人都對每個異性有一個喜好度的排序，代表對他的喜愛程度，現在希望給每個男士找一個女士作配偶，使得每人恰好有一個異性配偶。如果男士u和女士v不是配偶但喜歡對方的程度都大於喜歡各自當前配偶的程度，則稱他們為一個不穩定對。穩定婚姻問題就是希望找出一個不包含不穩定對的方案。
       演算法非常簡單，稱為求婚－拒絕演算法，每位男士按照自己喜歡程度從高到低依次給每位女士主動求婚直到有一個女士接受他，對於每個女士，如果當前向她求婚的配偶比她現有的配偶好則拋棄當前配偶，否則不予理睬，迴圈往複直到所有人都有配偶。有趣的是，看起來是女士更有選擇權，但是實際上最後的結果是男士最優的(man-optimal)。
     首先說明最後匹配的穩定性，隨著演算法的執行，每位女士的配偶越來越好，而每位男士的配偶越來越差。因此假設男士u和女士v形成不穩定對，u一定曾經向v求過婚，但被拒絕。這說明v當時的配偶比u更好，因此演算法結束後的配偶一定仍比u好，和不穩定對的定義矛盾，類似的，方式我們考慮最後一個被拋棄的男士和拋棄這位男士的女士，不難得出這個演算法一定終止的結論。
       如果存在一個穩定匹配使得男士i和女士j配對，則稱(i,j)是穩定對。對於每個男士i，設所有穩定對(i,j)中i 最喜歡的女士為best(i)，則可以證明這裡給出的演算法對讓每位男士i與best(i)配對。對於所有男士來說，不會有比這更好的結果了，而對於女士則恰恰相反，對於她們來說不會有比這更糟的結果了，因此這個演算法是男士最優的。
      演算法一定得到穩定匹配，並且複雜度顯然是O(n^2)，因為每個男士最多考慮每個女士一次，考慮的時間複雜度是O(1)，當然了，需要作一定的預先處理得到這個複雜度。