二分匹配總結

相關題目：http://blog.csdn.net/kksleric/article/details/7433909

最大匹配匈牙利演算法：

對於增廣路徑可以用一個遞迴的方法來描述。這個描述不一定最準確，但是它揭示了尋找增廣路徑的一般方法：

“從點A出發的增廣路徑”一定首先連向一個在原匹配中沒有與點A配對的點B。如果點B在原匹配中沒有與任何點配對，則它就是這條增廣路徑的終點；反之，如果點B已與點C配對，那麼這條增廣路徑就是從A到B，再從B到C，再加上“從點C出發的增廣路徑”。並且，這條從C出發的增廣路徑中不能與前半部分的增廣路徑有重複的點。

要完成匈牙利演算法，還需要一個重要的定理： 

如果從一個點A出發，沒有找到增廣路徑，那麼無論再從別的點出發找到多少增廣路徑來改變現在的匹配，從A出發都永遠找不到增廣路徑。 

最小點覆蓋： 最小覆蓋要求用最少的點（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）讓每條邊都至少和其中一個點關聯。可以證明：一個二分圖中的最大匹配數等於這個圖中的最小點覆蓋數 （König定理）

（對於點權不一定為1的最小點權覆蓋問題使用費用流求解）

Matrix67給出證明：（做人要厚到 轉貼請註明出處）

 匈牙利演算法需要我們從右邊的某個沒有匹配的點，走出一條使得“一條沒被匹配、一條已經匹配過，再下一條又沒匹配這樣交替地出現”的路（交錯軌，增廣路）。但是，現在我們已經找到了最大匹配，已經不存在這樣的路了。換句話說，我們能尋找到很多可能的增廣路，但最後都以找不到“終點是還沒有匹配過的點”而失敗。我們給所有這樣的點打上記號：從右邊的所有沒有匹配過的點出發，按照增廣路的“交替出現”的要求可以走到的所有點（最後走出的路徑是很多條不完整的增廣路）。那麼這些點組成了最小覆蓋點集：右邊所有沒有打上記號的點，加上左邊已經有記號的點。看圖，右圖中展示了兩條這樣的路徑，標記了一共6個點（用 “√”表示）。那麼，用紅色圈起來的三個點就是我們的最小覆蓋點集。
    首先，為什麼這樣得到的點集點的個數恰好有M個呢？答案很簡單，因為每個點都是某個匹配邊的其中一個端點。如果右邊的哪個點是沒有匹配過的，那麼它早就當成起點被標記了；如果左邊的哪個點是沒有匹配過的，那就走不到它那裡去（否則就找到了一條完整的增廣路）。而一個匹配邊又不可能左端點是標記了的，同時右端點是沒標記的（不然的話右邊的點就可以經過這條邊到達了）。因此，最後我們圈起來的點與匹配邊一一對應。
    其次，為什麼這樣得到的點集可以覆蓋所有的邊呢？答案同樣簡單。不可能存在某一條邊，它的左端點是沒有標記的，而右端點是有標記的。原因如下：如果這條邊不屬於我們的匹配邊，那麼左端點就可以通過這條邊到達（從而得到標記）；如果這條邊屬於我們的匹配邊，那麼右端點不可能是一條路徑的起點，於是它的標記只能是從這條邊的左端點過來的（想想匹配的定義），左端點就應該有標記。
    最後，為什麼這是最小的點覆蓋集呢？這當然是最小的，不可能有比M還小的點覆蓋集了，因為要覆蓋這M條匹配邊至少就需要M個點（再次回到匹配的定義）。

最小路徑覆蓋： 用盡量少的不相交簡單路徑覆蓋有向非循環圖Ｇ的所有結點。解決此類問題可以建立一個二分圖模型。把所有頂點i拆成兩個：Ｘ結點集中的i和Y結點集中的i',如果有邊i->j，則在二分圖中引入邊i->j'，設二分圖最大匹配為m,則結果就是n-m。 
最大獨立集問題： 在Ｎ個點的圖G中選出m個點，使這m個點兩兩之間沒有邊．求m最大值． 
如果圖Ｇ滿足二分圖條件，則可以用二分圖匹配來做．最大獨立集點數 = N - 最大匹配數 

最小點覆蓋集=最大點獨立集的補集

最小點支配集=最大匹配數=N-最大獨立集點數

最大團（任意兩點都相連的頂點的集合）=原圖的補圖的最大獨立數

最小邊覆蓋=最大獨立集=點數-最大匹配

1.     從最大匹配出發，通過增加關聯未蓋點的邊獲得最小邊覆蓋集。

2.      從最小邊覆蓋集出發，通過移去相鄰的一條邊獲得最大匹配。

最優匹配KM演算法：

   KM演算法是通過給每個頂點一個標號（叫做頂標）來把求最大權匹配的問題轉化為求完備匹配的問題的。設頂點Xi的頂標為A[i]，頂點Yi的頂標為B[i]，頂點Xi與Yj之間的邊權為w[i,j]。在演算法執行過程中的任一時刻，對於任一條邊(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始終成立。KM演算法的正確性基於以下定理：

　　若由二分圖中所有滿足A[i]+B[j]=w[i,j]的邊(i,j)構成的子圖（稱做相等子圖）有完備匹配，那麼這個完備匹配就是二分圖的最大權匹配。

　　這個定理是顯然的。因為對於二分圖的任意一個匹配，如果它包含於相等子圖，那麼它的邊權和等於所有頂點的頂標和；如果它有的邊不包含於相等子圖，那麼它的邊權和小於所有頂點的頂標和。所以相等子圖的完備匹配一定是二分圖的最大權匹配。

　　初始時為了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[i]為所有與頂點Xi關聯的邊的最大權，B[j]=0。如果當前的相等子圖沒有完備匹配，就按下面的方法修改頂標以使擴大相等子圖，直到相等子圖具有完備匹配為止。

　　我們求當前相等子圖的完備匹配失敗了，是因為對於某個X頂點，我們找不到一條從它出發的交錯路。這時我們獲得了一棵交錯樹，它的葉子結點全部是X頂點。現在我們把交錯樹中X頂點的頂標全都減小某個值d，Y頂點的頂標全都增加同一個值d，那麼我們會發現：

• 兩端都在交錯樹中的邊(i,j)，A[i]+B[j]的值沒有變化。也就是說，它原來屬於相等子圖，現在仍屬於相等子圖。
• 兩端都不在交錯樹中的邊(i,j)，A[i]和B[j]都沒有變化。也就是說，它原來屬於（或不屬於）相等子圖，現在仍屬於（或不屬於）相等子圖。
• X端不在交錯樹中，Y端在交錯樹中的邊(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原來不屬於相等子圖，現在仍不屬於相等子圖。
• X端在交錯樹中，Y端不在交錯樹中的邊(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所減小。也就說，它原來不屬於相等子圖，現在可能進入了相等子圖，因而使相等子圖得到了擴大。

　　現在的問題就是求d值了。為了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始終成立，且至少有一條邊進入相等子圖，d應該等於min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交錯樹中，Yi不在交錯樹中}。

　　以上就是KM演算法的基本思路。但是樸素的實現方法，時間複雜度為O(n4)——需要找O(n)次增廣路，每次增廣最多需要修改O(n)次頂標，每次修改頂標時由於要枚舉邊來求d值，複雜度為O(n2)。實際上KM演算法的複雜度是可以做到O(n3)
的。我們給每個Y頂點一個“鬆弛量”函數slack，每次開始找增廣路時初始化為無窮大。在尋找增廣路的過程中，檢查邊(i,j)時，如果它不在相等子圖 中，則讓slack[j]變成原值與A[i]+B[j]-w[i,j]的較小值。這樣，在修改頂標時，取所有不在交錯樹中的Y頂點的slack值中的最小 值作為d值即可。但還要注意一點：修改頂標後，要把所有的slack值都減去d。