二叉尋找樹(5)，二叉尋找樹

二叉尋找樹(5)，二叉尋找樹
在本系列的第一篇文章中，已經介紹過了二叉尋找樹的一些性質：

• 節點的左子樹中任意節點值小於根節點
• 節點的右子樹中任意節點值大於根節點
• 左右子樹都必須是二叉尋找樹，不允許存在重複節點。

基於上面的這些性質，自然的就得到了這種判斷方式：樹中的每個節點都有一個特定的值。

假設樹的節點定義為：
struct Node{        int key;        Node *left;        Node *right;};

方法1 (實現簡單，但卻是錯誤的)對於每個節點，檢測它的左孩子節點是否小於它，且右孩子節點是否大於它。

bool isBST(Node* node){  if (node == NULL)    return true;       //如果左孩子大於根節點，則不是BST  if (node->left != NULL && node->left->key> node->key)    return false;       //如果右孩子節點小於根節點，則不是BST  if (node->right != NULL && node->right->key < node->key)    return false;     //遞迴的判斷  if (!isBST(node->left) || !isBST(node->right))    return false;       //檢測完畢，所有條件通過，則是BST  return true;}

但是，這種判斷方法是錯誤的，如下面例子所示，節點4處於根節點3的左子樹中，但是函數檢測到這棵樹是BST.
        3
      /   \
    2     5
  /  \
1    4

方法2 (結果正確，但是效率比較低)對於每個節點，檢測左子樹中的最大值是否比它小，而右子樹的最小值比它大。

//如果是BST，則返回truebool isBST(Node * node ){        if ( node == NULL)               return true;        //如果左子樹最大值大於根節點，則返回false        if ( node->left != NULL && maxValue( node->left) > node->key)               return false;        //如果右子樹最小值小於根節點，則返回false        if ( node->right != NULL && minValue( node->right) < node->key)               return false;        //遞迴判斷        if (!isBST( node->left) || !isBST( node->right))               return( false);        //所有檢測都通過，是BST        return true;}

其中，maxValue以及minValue函數，分別返回一顆非空樹中的最大值和最小值。

方法3 (正確並且有效)方法2因為要重複的遍曆樹中的部分資料，效率比較低。更好的方案是每個節點只遍曆一次。 方法3的巧妙之處在於限定了子樹中節點值的範圍，從而每個節點只需訪問一次。節點值的初始範圍可限定為INT_MIN以及INT_MAX。
//判斷是否為BST
bool isBST(Node* node)
{
    return(isBSTUtil(node, INT_MIN, INT_MAX));
}
//如果是一顆二叉尋找樹，且值範圍在[min,max]，則返回true
bool isBSTUtil(Node* node, int min, int max)

代碼實現:

#include <iostream>struct Node{        int key;        Node *left;        Node *right;};bool isBSTUtil(Node * node, int min, int max);//判斷是否為BSTbool isBST(Node * node ){        return(isBSTUtil( node, INT_MIN, INT_MAX));}//如果是一顆二叉尋找樹，且值範圍在[min, max]，則返回truebool isBSTUtil(Node * node , int min , int max ){        //空樹也是BST        if ( node == NULL)               return true;        //如果節點值違反了最大/最小約束條件，則不是BST        if ( node->key < min || node->key > max)               return false;        //遞迴檢查子樹        return  isBSTUtil( node->left, min, node->key - 1) &&              isBSTUtil( node->right, node->key + 1, max);}// 建立一個新的BST節點Node *createNewNode(int item ){        Node *temp = new Node;       temp->key = item;       temp->left = temp->right = NULL;        return temp;}int main(){    /* tree1的定義            4          /   \         2     5        / \       1   3     */       Node *root = createNewNode(4);       root->left = createNewNode(2);       root->right = createNewNode(5);       root->left->left = createNewNode(1);       root->left->right = createNewNode(3);        if (isBST(root))              std::cout << "tree1 is BST\n";        else              std::cout << "tree1 is not BST\n";        /* tree2的定義            4          /   \         2     5        /     /       1     3       */       root = createNewNode(4);       root->left = createNewNode(2);       root->left->left = createNewNode(1);       root->right = createNewNode(5);       root->right->left = createNewNode(3);        if (isBST(root))              std::cout << "tree2 is BST\n";        else              std::cout << "tree2 is not BST\n";        return 0;}

輸出：
tree1 is BST
tree2 is not BST

時間複雜度: O(n)
輔助空間 : 如果不考慮函數調用棧的大小，則為O(1)， 否則為O(n)

方法4(使用中序遍曆)1) 對樹進行中序遍曆，將結果儲存在temp數組中。
3) 檢測temp數組中元素是否為升序排列。如果是，則這棵樹為BST.
時間複雜度: O(n)
方法4還可以進一步的最佳化，我們可以避免使用這個額外的數組。在中序遍曆時，可以儲存前驅節點，如果當前節點小於前驅節點，則這棵樹不是BST.

//判斷是否為BSTbool isBST(Node* root){     static Node *prev = NULL;     // 中序遍曆這棵樹，並儲存前驅節點至prev中     if (root)     {          if (!isBST(root->left))               return false;          // 檢測節點值的合法性          if (prev != NULL && root->key <= prev->key)               return false;          prev = root;          //右子樹          return isBST(root->right);     }     return true;}

更多參考:
http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_search_tree
http://cslibrary.stanford.edu/110/BinaryTrees.html