二叉排序樹

標籤：一半   刪除演算法   沒有   問題   所有結點   串連   相等   結果   為什麼   

一.二叉排序樹產生原因

　　為什麼要有二叉排序樹這種資料結構的產生？對於一個既要排序、又要支援高效的尋找、插入和刪除操作的資料元素集合，將其組織成一個什麼樣的資料結構能夠滿足要求？我們對於排序次序表、排序單鏈表和散列表這幾種資料結構進行分析：

　　(1)排序次序表，可以採用折半尋找法，時間效率為O（log2n）;插入和刪除的操作時間複雜度為O（n）,資料移動量大，效率較低。

　　(2)排序單鏈表，順序尋找的時間效率為O（n）,不能採用折半尋找演算法；插入和刪除操作的時間複雜度為O（n）,雖然沒有資料移動但因為查詢找效率低下，使得插入和刪除的效率也較低。

　　(3)散列表，雖然尋找、插入和刪除操作的效率較高，但是散列表不具有排序特性。

　　上述幾種資料結構不能滿足問題的要求。我們一樹結構來研究這個問題。

　　二叉排序樹是一種既支援排序、又支援高效的尋找、插入和刪除操作的資料群組織方案，她的尋找等操作效率可達到O（log2n）。

　　在一棵二叉樹中尋找一個節點，需要在遍曆二叉樹的過程中對節點逐個進行比較，這是順序尋找演算法，尋找效率為O（n）。如果一顆二叉樹是排序的，則沒經過一次比較，根據比較結果，可在當前節點的左子樹和右子樹中選擇其一繼續，從而將尋找範圍縮小了一半，        一次尋找只需要經過從根到某節點的一條路徑就可獲得尋找結果，比較次數最多是二叉樹的高度，尋找效率為O(log2n)。遠低於O（n）.

二、二叉排序樹的定義

　　二叉排序樹或者是一棵空樹，或者是具有下列性質的二叉樹;

　　(1)每個結點都有一個作為尋找一句的關鍵字，所有結點的關鍵字互不相同。

　　(2)若一個結點的左子樹不空，則左子樹上所有結點的關鍵字均小於這個結點的關鍵字；若一個結點的右子樹不為空白，則右子樹上所有結點的關鍵字均大於這個結點的關鍵字。

　　(3)每個結點的左、右子樹也分別為二叉排序樹。

　　一個二叉排序樹中序遍曆得到的關鍵字是升序的。

三、二叉樹的尋找

　　在一棵二叉排序樹中，尋找關鍵字key元素結點，演算法描述如下：

　　(1)從根節點開始，設p指向根節點

　　(2)將p結點的關鍵字與key比較，若兩者相等，則尋找成功；若key較小，則在p的左子樹中繼續尋找；若key較大，則在p的右子樹中繼續尋找。

　　(3)重複執行上一步，直到尋找成功或p為空白。若p為空白，則尋找不成功。

四、二叉排序樹的插入

　　一棵二叉排序樹，插入一個結點之後必須仍然是二叉排序樹。每插入一個結點，首先需要找到該結點在二叉排序樹中的插入位置，若具有相同關鍵字的結點已經在二叉排序樹中，則不插入；否則將新結點作為椰子結點串連在其尋找不成功的一條路徑之尾，

該路徑從根結點到某個原葉子結點。因此，給定一棵二叉樹，一個結點的插入位置是唯一的。

五、二叉排序樹的刪除

　　在二拆排序樹中刪除一個結點，首先尋找該節點，若存在，則根據結點的度對二叉排序樹進行不同程度的調整，使刪除結點後的二叉樹仍然是二叉排序樹。

　　設p指向待刪除的結點，parent指向p的父結點。根據p的維度不同，二叉排序樹的刪除演算法分以下三種演算法。

　　(1)p是葉子結點。若p是parent的左孩子，刪除p結點並設定parent的left鏈為空白；若p是右孩子，刪除p結點並設定parent的right鏈為空白。

　　(2)p是1度結點，刪除p結點並用p的孩子填補作為parent的孩子，共有四中情況。

　　　　a.若p是parent的左孩子且p有左孩子，設定parent的left鏈指向p的左孩子。

　　　　b.若p是parent的左孩子且p有右孩子，設定parent的left鏈指向p的右孩子。

　　　　c.若p是parent的右孩子且p有左孩子，設定parent的right鏈指向p的左孩子。

　　　　d.若p是parent的右孩子且p有右孩子，設定parent的right鏈指向p的右孩子。

　　(3)p是2度結點，不直接刪除p結點，而是先用p的中根次序下的後繼空額到嗎insucc值代替p結點值，再刪除insucc結點。這樣將刪除2度結點問題轉換為刪除1度結點或葉子結點，使得對二叉排序樹的調整減少到最小程度。

　　

二叉排序樹