二叉排序樹

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1.二叉排序樹的概念:
  二叉排序樹是一種動態樹表。
   二叉排序樹的定義：二叉排序樹或者是一棵空樹，
   或者是一棵具有例如以下性質的二叉樹：
     ⑴ 若它的左子樹非空，則左子樹上全部結點的值均小於根結點的值；
     ⑵ 若它的右子樹非空，則右子樹上全部結點的值均大於根結點的值；
     ⑶ 左、右子樹本身又各是一棵二叉排序樹。二叉排序樹的性質： 按中序遍曆二叉排序樹，所得到的中序遍曆序列是一個遞增有序序列

2.二叉排序樹的插入:
   在二叉排序樹中插入新結點，要保證插入後的二叉樹仍符合二叉排序樹的定義。
   插入過程：若二叉排序樹為空白，則待插入結點*S作為根結點插入到空樹中；
   當非空時，將待插結點keywordS->key和樹根keywordt->key進行比較，
   若s->key = t->key,則無須插入，若s->key< t->key,則插入到根的左子樹中，
   若s->key> t->key,則插入到根的右子樹中。而子樹中的插入過程和在樹中的插入過程同樣，
   如此進行下去，直到把結點*s作為一個新的樹葉插入到二叉排序樹中，或者直到發現樹已有同樣keyword的結點為止。

3. 二叉排序樹產生：
   從空的二叉排序樹開始，經過一系列的尋找插入操作以後，產生了一棵二叉排序樹。
   說明：
     ① 每次插入的新結點都是二叉排序樹上新的葉子結點。
     ② 由不同順序的keyword序列，會得到不同二叉排序樹。
     ③ 對於一個隨意的keyword序列構造一棵二叉排序樹，事實上質上對keyword進行排序。

4.二叉排序樹尋找的程式實現:
 #include<malloc.h>
#include<iostream.h>
#include<stdio.h>
typedef struct BiTNode{
 int data;
 int flag;
 struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BTNode,BTree;
//二叉排序樹的尋找非遞迴演算法
//在二叉排序樹T中尋找keyword為key的元素，若找到返回true,
//否則返回false.
bool SearchBST(BTree *T,int key){
 BTree *p=T;
 while(p){
  if(p->data==key)
   return true;  
  p=(key<p->data)? p->lchild:p->rchild;
 }
 return false;
}
//二叉排序樹的尋找遞迴演算法
//在二叉排序樹T中尋找keyword為key的元素，若找到返回true,
//否則返回false.
bool SearchBST2(BTree *T,int key){
 BTree *p=T;
 if(!p)
  return false;
 else
  if(p->data==key)
   return true;
  else
   if(key>p->data)
    return SearchBST2(p->rchild,key);
   else
    return SearchBST2(p->lchild,key);
}
//建立二叉排序樹
//當二叉排序樹T中不存在keyword為key的元素時，插入key,並返回樹的根，
//否則不插入,並返回樹的根。   
BTree* InsertBST(BTree *T,int key){
 BTree *f=T,*p=T;
 while(p){
  if(p->data==key) return T;
  f=p;//用f記下尋找路徑上的最後一個訪問的節點
  p=(key<p->data)? p->lchild:p->rchild;
 }
 p=(BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
 p->data=key;
 p->lchild=p->rchild=NULL;
 if(T==NULL)
  T=p;
 else
  if (key<f->data)
   f->lchild=p;
  else
   f->rchild=p;
 return T;
}
//遞迴中序遍曆
void InOrderDisplay(BTree *T){
 if(T){  
  InOrderDisplay(T->lchild);
  cout<<T->data;
  InOrderDisplay(T->rchild);
 }
}

//test:
int main(){
 int i;
 int data;
 BTree *tree=NULL;
 for(i=0;i<4;i++){
  cout<<"input data"<<endl;
  cin>>data;
  tree=InsertBST(tree,data);
 }
 InOrderDisplay(tree);
 bool find=SearchBST2(tree,24);
 cout<<find<<endl;
 return 0;
}

5. 二叉排序樹的刪除:
  
如果被刪結點是*p，其雙親是*f，不失一般性，設*p是*f的左孩子，以下分三種情況討論：
⑴ 若結點*p是葉子結點，則僅僅需改動其雙親結點*f的指標就可以。
⑵ 若結點*p僅僅有左子樹PL或者僅僅有右子樹PR，則僅僅要使PL或PR 成為其雙親結點的左子樹就可以。
⑶ 若結點*p的左、右子樹均非空，先找到*p的中序前趨結點*s（注意*s是*p的左子樹中的最右下的結點，它的右鏈域為空白），然後有兩種做法：
① 令*p的左子樹直接鏈到*p的雙親結點*f的左鏈上,而*p的右子樹鏈到*p的中序前趨結點*s的右鏈上。
② 以*p的中序前趨結點*s取代*p（即把*s的資料拷貝到*p中），將*s的左子樹鏈到*s的雙親結點*q的左（或右）鏈上。(在以下的示範演算法中用的就是此方法)


6. 刪除演算法示範 :

//刪除二叉排序樹中的一個節點
//在二叉排序樹T中刪除keyword為key的結點
void DelBST(BTree *T,int key){
 BTree *p=T,*f,*q,*s,*root=T;
 while(p){
  if(p->data==key) break; //找到keyword為key的結點
        f=p;//記下keywordkey節點的父節點
  p=(key<p->data)?p->lchild:p->rchild;//分別在*p的左、右子樹中尋找
 }
 if(!p) return;//二叉排序樹中無keyword為key的結點
 if(p->lchild==NULL&&p->rchild==NULL){//p沒有左右子樹
  if(p==T) T=NULL;//刪除的是根節點
  else
   if(p==f->lchild)
    f->lchild=NULL;
   else
    f->rchild=NULL;
 free(p);
 }
 else if(p->lchild==NULL&&p->rchild!=NULL)//p無左子樹有右子樹
 {
  if(f->lchild==p)
   f->lchild=p->rchild; //將p的右子樹連結到其父結點的左鏈上
  else
   f->rchild=p->rchild; //將p的右子樹連結到其父結點的右鏈上
  free(p);
 }
    else if(p->rchild==NULL&&p->lchild!=NULL)//p有左子樹無右子樹
 {
  if (f->lchild==p)              
   f->lchild=p->lchild; //將p的左子樹連結到其父結點的左鏈上
  else
   f->rchild=p->lchild; //將p的左子樹連結到其父結點的右鏈上
  free(p);
 }
 else if(p->lchild!=NULL&&p->rchild!=NULL)//p既有左子樹又有右子樹
 {
  q=p;
  s=p->lchild;//轉左
  while(s->rchild){//然後向右到盡頭
   q=s;
   s=s->rchild;//s指向被刪節點的“前驅”(中序前驅)
  }
  p->data=s->data;//以p的中序前趨結點s取代p（即把s的資料拷貝到p中）
  if(q!=p) q->rchild=s->lchild;//重接q的右子樹
  else q->lchild=s->lchild;//重接q的左子樹。
  free(s);
    }
}

7. 二叉排序樹的尋找:
  在二叉排序樹中進行尋找的過程和二分尋找相似，也是一個逐步縮小尋找範圍的過程。若尋找成功，則是走了一條從根結點到待查結點的路徑；若尋找失敗，則是走了一條根結點到某個葉子結點的路徑。因此，尋找過程中和keyword比較的次數不超過樹的深度。
   因為含有n個結點的二叉排序樹不唯一，形態和深度可能不同。故含有n個結點的二叉排序樹的平均尋找長度和樹的形態有關。
   最好的情況是： 二叉排序樹和二叉判定樹形態同樣。
   最壞的情況是： 二叉排序樹為單支樹，這時的平均尋找長度和順序尋找時同樣。
   最壞情況示範範例
   就平均效能而言，二叉排序樹上的尋找和二分尋找相差不大，而且二叉排序樹上的插入和刪除結點十分方便，無須大量移動結點。  

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