二叉樹漫遊——編程技術與技巧總結（上）：遞迴技術

                          
二叉樹漫遊——編程技術與技巧總結（上）：遞迴技術

 

            本系列分三篇文章，分別對二叉樹編程中的常用技術和技巧進行了總結。第一篇是關於二叉樹編程的遞迴技術的；第二篇討論如何將遞迴程式轉化為非遞迴程式；第三篇討論二叉樹編程的其它方法和技術。

 

             一、 二叉樹編程概述

            程式 =資料結構+演算法。更精確地說，任何程式的功能實現，從技術角度來說，通過選取合適的資料結構和高效的演算法即可做到。二叉樹是一種非線性資料結構，即每一個元素都可能有0個，1個，或2個後繼結點；這使得二叉樹編程比線性表編程增加了一些難度；另一方面，由於二叉樹具有天然的遞迴特性，要掌握二叉樹編程技術，必須懂得如何用遞迴來思考問題以及熟練掌握遞迴程式的編寫，這對初學者來說，無疑是一道必須跨越的門檻。

 

             二、遞迴技術概述

            遞迴技術並不神秘。從方法層面上看，遞迴技術通過使用相同的方法求解比原問題規模更小的子問題，併合並子問題的解而實現；遞迴與分治是緊密關聯的；從技術手段上看，遞迴通過相同的函數調用來實現。即有P(n)=
P(P(i),P(j), …,
P(s),G(1))。

要寫出遞迴程式，其實也並不困難，有三點技巧：A.分析和找出遞迴的部分；
B.確定遞迴調用的參數形式；
C.確定遞迴結束條件。掌握這些技巧，甚至不用對遞迴機製作過多瞭解，就能寫出優雅的遞迴代碼。在後面的樣本中，會逐漸給出一些相關的方法和技巧。

 

          三、二叉樹的遞迴求解技術

二叉樹的遞迴求解通常可以歸納為以下步驟：

S1： 對根結點求解；

S2： 遞迴求解左子樹；

S3： 遞迴求解右子樹；

S4 :
合并根結點、左子樹、右子樹的解，進而得到原問題的解。

         
聰明的讀者馬上意識到，上述步驟與二叉樹的先序遍曆非常類似。針對具體的問題，S1,S2, S3
的順序可能有所變化。

 

A.分析和找出遞迴的部分：

         
很顯然，二叉樹根結點的左子樹和右子樹都是一棵二叉樹，因此，可以用相同的策略求解左右子樹；這就是可以遞迴的部分；

B.
確定遞迴調用的參數形式：

         
這一點也比較明顯，即將二叉樹的根結點作為調用參數。根據問題需要，可能會增加一些其它的參數，用於標示當前遍曆的深度，要返回的列表等。

C.確定遞迴條件。通常，根據應用將根結點需要滿足的條件作為遞迴結束條件。

         
這裡有一個小技巧：你可以先對A/A(B,)/A(,B)/A(B,C)這幾種基本的二叉樹結構進行分析，以掌握遞迴程式的行為和機制。

 

四、樣本

（1）二叉樹的先序、中序、後序遞迴遍曆。這個是最基本的，請讀者自行查閱相關書籍弄懂；

（2）求二叉樹的總結點數目。

A.分析和找出遞迴的部分：很顯然，二叉樹的總結點數目
=1 +
左子樹的總結點數目 +右子樹的總結點數目。
1表示根結點。

B.遞迴調用的參數： 二叉樹的根結點。

C.遞迴結束條件： 根結點為空白。

 

         
現在，就可以開始寫遞迴程式了。先寫遞迴結束時的情況，再寫繼續遞迴的情況。熟練掌握遞迴程式的編寫不是一蹴而就的，多練習就習慣了。

 

Publicint size(TreeNode root) {

if(root == null) { return 0; }

else{

return1 + size(root.getLChild()) + size(root.getRChild()) ;

}

}

 

(3)將二叉樹所有結點的左右子樹交換

         
初看起來，像是很困難；然而運用遞迴的思維，很容易就能想到：如果根結點不為空白，則交換根結點的左右子樹；遞迴求解左子樹；遞迴求解右子樹。於是，可以寫出遞迴程式：

publicvoid swapTree(TreeNode root)

{

if(root != null) {

TreeNodetmp = root.getLChild();

root.setLChild(root.getRChild());

root.setRChild(tmp);

swapTree(root.getLChild());

swapTree(root.getRChild());

}

}

 

(4)
求二叉樹的最長路徑（如果有多條，輸出其中一條）

         
這個問題咋看起來，沒發現明顯可以遞迴的地方。這時，就需要仔細地分析。首先，二叉樹的最長路徑必定包括非空根結點；其次，最長路徑必定在葉子結點處到達；那麼，二叉樹的最長路徑與其左右子樹的最長路徑有什麼關聯呢？可以很容易想到：二叉樹的最長路徑
=非空根結點
+Max(左子樹的最長路徑,右子樹的最長路徑)。這樣，就可以整理出思路：

LongestPath(root):

if(root != null) { //
若根結點不為空白，則儲存在最長路徑中

longestPath.add(root);

if(root.getLChild() == null && root.getRChild() == null) {

//到達葉子結點，可以輸出路徑

returnpath;

}

else{

//遞迴求解左子樹最長路徑

leftLongestPath= LongestPath(root.getLChild());

//遞迴求解右子樹最長路徑

rightLongestPath= LongestPath(root.getRChild());

if(leftLongestPath.size() >= rightLongestPath.size())

{

      //
左子樹最長路徑大於或等於右子樹最長路徑，則取左子樹最長路徑

path.addAll(leftLongestPath);

}

else{

       //
否則，取右子樹最長路徑

       
path.addAll(rightLongestPath);

} 

}

}

 

         
由於二叉樹的遞迴求解通常非常簡潔，且運行效率也在可接受範圍內，因此，有人甚至建議：二叉樹的問題求解，首選遞迴技術。本文從方法層面上討論了如何編寫二叉樹的遞迴程式，這些方法和技巧使得，即使對遞迴的機制不甚瞭解，也可以寫出非常優雅的遞迴代碼。