電腦中的位元運算

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位元運算是C/C++中的基本運算之一，即便是這樣，它對大多數程式員來說是一個比較陌生的運算——大多數程式員很少使用位元運算。本篇先簡要介紹基本的位元運算操作符及其用法(何時使用)，然後介紹位元運算符的幾個典型應用：

（1）      三種不用臨時變數交換兩個整數的執行個體，並分析每個執行個體的優缺點

（2）      進位轉換，通過位元運算實現將十進位數按二進位和十六進位輸出，並得出一個通用的，用於將十進位按照2的n次方進位輸出的程式。

（3）      給出利用位元運算實現的計算整數的二進位表示中有多少個1的執行個體。

揭開位元運算的面紗

所 有資料在電腦底層都是按二進位儲存的，一個資料可以看做是一個有序的位集合。每一位只有兩種狀態：0或1。位元運算允許程式員操作資料的某一特定位，比如 將某位設定為1(或0)，查詢某位的狀態(1，或0)。位元運算由位元運算操作符和運算元組成，不同的位元運算操作符定義了不同的位元運算，下面的表格是對每種位 運算操作符及其對應的位元運算和功能進行描述：

位元運算操作符	對應的位元運算	用法	功能描述
~	按位非	~expr	翻轉expr的每一個位：1變0,0變1
<<	左移	expr<<n	將expr向左移動n位，移到外面的被丟棄，右邊的位補0，因此左移n位相當於乘以2n
>>	右移	expr>>n	將expr向右移n位，移到外面的被丟棄，如果expr是無符號類型，則左邊補0，否則，左邊插入符號位的拷貝或者0(視具體實現而定)。
&	按位與	expr1&expr2	在每個位所在處，如果expr1和expr2都含有1，那麼結果該位為1，否則為0。
|	按位或	Expr1 | expr2	在每個位所在處，如果expr1和expr2都含有0，那麼結果該位為0，否則為1。
^	按位異或	Expr1 ^ expr2	在每個位所在處，如果expr1和expr2不相同，那麼結果該位為1，否則為0.

除了上面的基本位元運算操作符外，還有&=，^=，|=，<<=,>>=等組合符號，它們分別是：按位與賦值，按位異或賦值，按位或賦值，左移賦值，右移賦值。接下來介紹如何?位操作：

1.將expr的第n（n從0開始）位設定為1:        expr |= (1<<n);

2.將expr的第n（n從0開始）位設定為0:    expr &= (~(1<<n));

3.判斷expr的第n（n從0開始）位是否為1：bool b =expr & (1<<n);

4.翻轉expr的第n（n從0開始）位：expr ^=(1<<n)；

注意

1.      C標準提供了bitset來進行各種位操作，可以在MSDN中輸入bitset瞭解相關內容，使用時需要包含標頭檔:#include”bitset”。

2.      位 運算只能用於操作有整數類型的數，比如說char,short,int,long等(包含signed 和unsigned)，不能操作浮點數，比如float，double！std：：bitset的建構函式的參數是unsigned long int，盡量不要對負數進行為操作，因為可移植性差，不同的系統平台對負數的右移操作定義不一樣（大多數平台規定高位補符號位，有些平台規定高位補0）。

位元運算應用執行個體1：不用任何中間變數，交換兩個整數

這個問題是比較經典的了，你可以很容易地在網上找到多種答案，我在這裡給出兩個方案：

方案1：用算術運算實現(一個不完美的方案)

該方案的思路簡單，實現代碼很短，如下：

view plainprint?

1. Template<class T>  
2. Void mySwap_1(T& a, T& b)  
3. {  
4.          a = a+b;  
5.          b = a -b;  
6.          a = a-b;  
7. }  

 

簡單吧，但是我還要簡單說一下：第一句a=a+b;是用a儲存原來的a跟原的b的和；第二句b =a-b;使得原來的a的值被儲存到了b裡面；最後一句a=a-b;使得原來的b的值儲存到了a裡面。

我們說這個方法是不那麼完美的，原因在於算術運算可能會出現結果溢出的問題，假如a，b都非常大，那麼第一句a=a+b就會導致結果溢出，比如說原來的a= 2147483647,b =2,那麼a+b就為2147483649，這個數大於了最大的不帶正負號的整數2147483648，因此發生溢出，a中儲存的結果實際上是：-2147483647，但是讓人驚訝的是：雖然第一句程式得到的結果為-2147483647，後面兩句得到的結果卻是正確的，即能實現交換原始a,b的值，也就是說：只有第一句的結果是錯誤的，但最後的結果卻是正確的，這一點讓我很迷惑，至今還沒弄清楚緣由，再次向各位求教！

最後，談談這種方法相對於後面的方案2的優點：該方法可以用於交換兩個非整數(浮點數)，而方案2基於位元運算，而對浮點數不能直接使用位元運算，因此方案2不能用於交換兩個浮點數！

方案2：用位元運算實現(較好的方案)

        該方案代碼與方案1及其相似，思路也不難，先看代碼，然後再看我囉嗦的剖析：

view plainprint?

1. template<class T>  
2. void mySwap_2(T& a,T& b)  
3. {  
4.     a = a^b;  
5.     b = b^a;  
6.     a = a^b;  
7. }  

 

對於編程老手來說，這個交換函數並不陌生，但我相信這些編程老手之中有一部分人只記得這麼寫代碼，而不知道三句代碼為何這麼寫，事實上我最初也是這樣，因此一開始我就覺得短短3行代碼，讓我花費時間去理解分析，還不如直接記憶來得划算。事實上，直到今天我寫這篇文章時，我捨得消耗一點腦細胞來理解它，下面我嘗試著對上述三句代碼進行闡述，為了方便，假設資料類型為char，並且a = 5,b=3;那麼在記憶體中a,b儲存如下：

a:

0

0

0

0

0

1

0

1

 

b:

0

0

0

0

0

0

1

1

 

接下來詳細分析每一句：

首先來看第一句：a=a^b;執行該語句後a中儲存了a與b的差異位，也就是說如果原來的a和b的某一位不同，那麼就將a的該位置為1，因此a在記憶體中成了如的樣子，它說明a與b的第2,3個bit有差異：

a:

0

0

0

0

0

1

1

0

 

接著我們來看第二句：b=b^a；其意思是，將b中有差異的位翻轉，如此一來b中儲存的值其實就等於原來a中的值，記住當第二個語句執行完之後a仍然儲存了原來的a,b的差異資訊，而b則變成了原來的a！

最後我們來看第三句：a=a^b;由於異或運算滿足交換律，因此這一句等價於：a=b^a;記住這個語句賦值號右邊的b中已經儲存了原始的a值，而a中儲存了原始的a，b的差異，因此這一句的最終作用是將原始a中有差異的位翻轉(變成b)然後賦值給a，如此一來a中就儲存了原始的b值。

總結：上述三句中：第一句是記錄差異，第2,3句是翻轉，最終實現了不用任何中間變數就交換兩個變數的值。

分析：位元運算不考慮進位問題，因此不會有結果溢出的問題！但是由於不能對浮點數進行直接位元運算，因此該方法不能實現交換兩個浮點數！當然原題題目是交換兩個整數。

備忘：還有其他實現兩個數交換的方法，比如採用記憶體拷貝！由於不屬於位元運算範疇，這裡就不贅述了。

 

位元運算應用執行個體2：進位轉換

要求：分別實現十進位整數按二進位、十六進位輸出。

兩種方法實現按二進位輸出：

方法1：由於整數在電腦中是按二進位儲存的，我們只需要將其每個bit按順序列印出來即可，如果某位為1，則列印字元‘1’，否則列印字元‘0’。我給出的代碼如下：

view plainprint?

1. voidprintBinary(int num)  
2. {    
3.     for(int i=0;i<32;i++)  
4.     {  
5.        cout<<((num>>(31-i))&1);  
6.         //cout<<( (num &(1<<(31-i))) ==0? 0 : 1 );  
7.     }  
8. }  

 

其中被注釋掉的那個cout與沒注釋的cout有同樣的功能！這個函數的思路很簡單，就是從高到底逐位列印每個bit。我上面的代碼有一點不好的地方，那就是語句太複雜，一個cout語句幹了太多的事情，如果影響您的理解，那麼你可以增加幾個臨時變數，然後把它拆分成多個簡單語句。我這麼寫主要是考慮到篇幅的原因，因此程式段太占篇幅了。隨便說一句，編程時，語句力求簡單明了：一行唯寫一條語句，一條語句只幹一件事情！

方法二：利用bitset來實現

bitset是標準庫提供的一個類(不是容器)，利用它就可以很方便地操作位，下面是用bitset來實現的程式：

view plainprint?

1. voidprintBinary(int num)  
2. {   
3.    bitset<32> bits =bitset<32>((unsigned long)(num));  
4.     for(int i=31;i>=0;i--)  
5.     {  
6.         cout<<(bits[i]==true? ‘1‘ : ‘0‘);  
7.     }     
8. }  

 

備忘：關於bitset重載了多個運算子，其中包含下標運算子：[]，可以方便地取得某一個bit，看它是否為1。關於bitset的更多資訊請查閱msdn或者其他資料，你只要記住bitset是標準庫提供的，你可以隨時使用，不要忘記添加相應的標頭檔。

實現按16進位輸出：

同樣由於資料在記憶體中是按二進位儲存的，因此將整數按照16進位輸出我們可以如下做：從左向右，每4位bit一組，組合成一個十六進位數，一次輸出即可，其程式如下：

view plainprint?

1. void printHex(int num)  
2. {  
3.     for(inti=28;i>=0;i-=4)  
4.     {  
5.         int temp =num>>i;  
6.         temp =temp&15;  //15是掩碼！  
7.         char ch;  
8.        temp>9?(ch =‘A‘+temp-10):(ch = ‘0‘+temp);  
9.        cout<<ch;  
10.     }     
11. }     

 

該 程式與上面的printBinary函數非常相似，要注意的是i每次變化4，最關鍵點在於語句temp=temp&15；由於是16進位，因此這裡用15做掩碼。我想有了printBinary做鋪墊，理解這個printHex並不難，這裡不贅述了。接下來我將對這兩個函數進行個小小的擴充：實現整數按2n(2的n次方)進位輸出！比如按8進位，32進位等。為了方便描述，我們限制1<=n<=6；並用字元’0’到’9’表示數字0到9，用字元A,B,……Z,a,b,……表示數字10到63。程式如下：

view plainprint?

1. void print2powerN(int num,int N)  
2. {  
3.     for(inti=32-N;i>=0;i-=N)  
4.     {  
5.         int temp =num>>i;  
6.         temp =temp&((1<<N)-1);  
7.         char ch;  
8.        if(temp<=9)  
9.         {  
10.             ch =‘0‘+temp;  
11.         }  
12.         elseif(temp<=35)  
13.         {  
14.             ch =‘A‘+temp-10;  
15.         }  
16.         else  
17.         {  
18.             ch = ‘a‘+temp - 36;  
19.         }             
20.        cout<<ch;  
21.     }  
22. }  

 

備忘：用位元運算也能實現十進位到任意進位的轉換，這個問題比較難，我暫時還沒弄透徹！

 

位元運算案例3：求整數的二進位表示中1的個數

問題描述：輸入一個整數N要求輸出其二進位表示中1的個數M，比如N=13，則M=3；

分析：該問題的求解方法不止一種，可以對二進位表示的每一位逐位掃描來實現，這種方法的複雜度是o(n)其中n是N的二進位表示的總位元。這裡介紹如何用位操作來求解，並且保證其複雜度低於o(n)，事實上該方法的複雜度為o(m)，其中m是N的二進位標識中1的個數！

思路：在講述具體實現時，來看這樣一個事實：n&(n-1)能實現將最低位的1翻轉！比如說n=108，其二進位表示為01101100,則n&(n-1)的結果是01101000。因此只要不停地翻轉n的二進位的最低位的1，每翻轉一次讓計數器+1，直到n等於0時，計數器中就記錄了n的二進位中1的位元，程式如下：

view plainprint?

1. int count1Bits(long n)  
2. {  
3.     int count =0;  
4.     while(n)  
5.     {  
6.         count++;  
7.        n&=(n-1);  
8.     }  
9.     return count;  
10. } 

電腦中的位元運算