棋盤覆蓋問題（演算法競賽入門經典）

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在一個 2^k * 2^k 個方格組成的棋盤中，若恰有一個方格與其它方格不同，則稱該方格為一特殊方格，稱該棋盤為一特殊棋盤。顯然特殊方格在棋盤上出現的位置有 4^k 種情形。因而對任何 k>=0 ，有 4^k 種不同的特殊棋盤。所示的特殊棋盤為 k=2 時 16 個特殊棋盤中的一個。

在棋盤覆蓋問題中，要用中 4 中不同形態的 L 型骨牌覆蓋一個給定的特殊棋牌上除特殊方格以外的所有方格，且任何 2 個 L 型骨牌不得重疊覆蓋。易知，在任何一個 2^k * 2^k 的棋盤中，用到的 L 型骨牌個數恰為 (4^k-1)/3 。

用分治策略，可以設計解棋盤問題的一個簡捷的演算法。
當 k>0 時，將 2^k * 2^k 棋盤分割為 4 個 2^(k-1) * 2^(k-1) 子棋盤，如所示。

特殊方格必位於 4 個較小子棋盤之一中，其餘 3 個子棋盤中無特殊方格。為了將這 3 個無特殊方格的子棋盤轉化為特殊棋盤，我們可以用一個 L 型骨牌覆蓋這 3 個較小的棋盤的匯合處，如所示，這 3 個子棋盤上被 L 型骨牌覆蓋的方格就成為該棋盤上的特殊方格，從而將原問題化為 4 個較小規模的棋盤覆蓋問題。遞迴的使用 這種分割，直至棋盤簡化為 1x1 棋盤。

下面給出代碼：

 1 #include<iostream> 2 #include<string.h> 3 using namespace std; 4 int tile=1;                   //L型骨牌的編號(遞增) 5 int board[100][100];  //棋盤 6 /***************************************************** 7 * 遞迴方式實現棋盤覆蓋演算法 8 * 輸入參數： 9 * tr--當前棋盤左上方的行號10 * tc--當前棋盤左上方的列號11 * dr--當前特殊方格所在的行號12 * dc--當前特殊方格所在的列號13 * size：當前棋盤的:2^k14 *****************************************************/15 void chessBoard ( int tr, int tc, int dr, int dc, int size )16 {17     if ( size==1 )    //棋盤方格大小為1,說明遞迴到最裡層18         return;19     int t=tile++;     //每次遞增120     int s=size/2;    //棋盤中間的行、列號(相等的)21     //檢查特殊方塊是否在左上方子棋盤中22     if ( dr<tr+s && dc<tc+s )              //在23         chessBoard ( tr, tc, dr, dc, s );24     else         //不在，將該子棋盤右下角的方塊視為特殊方塊25     {26         board[tr+s-1][tc+s-1]=t;27         chessBoard ( tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s );28     }29     //檢查特殊方塊是否在右上方子棋盤中30     if ( dr<tr+s && dc>=tc+s )               //在31         chessBoard ( tr, tc+s, dr, dc, s );32     else          //不在，將該子棋盤左下角的方塊視為特殊方塊33     {34         board[tr+s-1][tc+s]=t;35         chessBoard ( tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s );36     }37     //檢查特殊方塊是否在左下角子棋盤中38     if ( dr>=tr+s && dc<tc+s )              //在39         chessBoard ( tr+s, tc, dr, dc, s );40     else            //不在，將該子棋盤右上方的方塊視為特殊方塊41     {42         board[tr+s][tc+s-1]=t;43         chessBoard ( tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s );44     }45     //檢查特殊方塊是否在右下角子棋盤中46     if ( dr>=tr+s && dc>=tc+s )                //在47         chessBoard ( tr+s, tc+s, dr, dc, s );48     else         //不在，將該子棋盤左上方的方塊視為特殊方塊49     {50         board[tr+s][tc+s]=t;51         chessBoard ( tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s );52     }53 }54 55 int main()56 {57     int size;58     memset(board,0,sizeof(board));59     cout<<"輸入棋盤的size(大小必須是2的n次冪): ";60     cin>>size;61     int index_x,index_y;62     cout<<"輸入特殊方格位置的座標: ";63     cin>>index_x>>index_y;64     cout<<board[index_x][index_y]<<endl;65     chessBoard ( 0,0,index_x,index_y,size );66     for ( int i=0; i<size; i++ )67     {68         for ( int j=0; j<size; j++ )69             cout<<board[i][j]<<‘ ‘;70         cout<<endl;71     }72     return 0;73 }