[BZOJ 1096][ZJOI2007]倉庫建設

標籤：dp   斜率最佳化   

Description

L公司有N個工廠，由高到底分布在一座山上。，工廠1在山頂，工廠N在山腳。 由於這座山處於高原內陸地區（乾燥少雨），L公司一般把產品直接堆放在露天，以節省費用。突然有一天，L公司的總裁L先生接到氣象部門的電話，被告知三天之後將有一場暴雨，於是L先生決定緊急在某些工廠建立一些倉庫以免產品被淋壞。由於地形的不同，在不同工廠建立倉庫的費用可能是不同的。第i個工廠目前已有成品Pi件，在第i個工廠位置建立倉庫的費用是Ci。對於沒有建立倉庫的工廠，其產品應被運往其他的倉庫進行儲藏，而由於L公司產品的對外銷售處設定在山腳的工廠N，故產品只能往山下運（即只能運往編號更大的工廠的倉庫），當然運送產品也是需要費用的，假設一件產品運送1個單位距離的費用是1。假設建立的倉庫容量都都是足夠大的，可以容下所有的產品。你將得到以下資料： 工廠i距離工廠1的距離Xi（其中X1=0）;  工廠i目前已有成品數量Pi;  在工廠i建立倉庫的費用Ci; 請你協助L公司尋找一個倉庫建設的方案，使得總的費用（建造費用+運輸費用）最小。

Input

第一行包含一個整數N，表示工廠的個數。接下來N行每行包含兩個整數Xi, Pi, Ci, 意義如題中所述。

Output

僅包含一個整數，為可以找到最優方案的費用。

Sample Input3
0 5 10
5 3 100
9 6 10
Sample Output32
HINT

在工廠1和工廠3建立倉庫，建立費用為10+10=20，運輸費用為(9-5)*3 = 12，總費用32。如果僅在工廠3建立倉庫，建立費用為10，運輸費用為(9-0)*5+(9-5)*3=57，總費用67，不如前者優。【資料規模】對於20%的資料， N ≤500；對於40%的資料， N ≤10000；對於100%的資料， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位帶正負號的整數以內，保證中間計算結果不超過64位帶正負號的整數。

Source

裸DP很水。。。但是O(n^2)承受不起這麼大的範圍，一定TLE，只能採取小於O(n)的斜率最佳化DP，具體就是維護一個雙向隊列，使得隊列內的點形成下凸的函數映像，這樣就能舍掉很多不必繼續迴圈DP的非最優解，具體可以參考JSOI集訓隊論文《單調性最佳化在動態規劃中的應用》

下面是我花了將近半個小時，按照上面的論文推出來的：

推完以後就可以做了，每次舍掉隊首一定不是最優解的元素，維護隊列中的斜率單調遞增(清除斜率單調遞減的部分)後再添加新的f[i],i∈[1,n]

#include <stdio.h>#define MAXN 1000500long long int f[MAXN],x[MAXN],c[MAXN],sum[MAXN],sump[MAXN],p[MAXN],q[MAXN]; //f[i]=在第i個工廠修倉庫時的所有最少總費用//f[i]=min{f[j]+w[i,j]+c[i]},c[i]=第i個工廠修倉庫的費用，w[i,j]=把i到j的貨物運到j的費用//sum[i]=前i個工廠距離和//q[]數組用於類比隊列long long int getF(int i,int j) //求f[j]+w[i,j]{ return f[i]+sum[i]-f[j]-sum[j];}int main(){ int i,j,n; //輸入 scanf("%d",&n); for(i=1;i<=n;i++) {  scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&p[i],&c[i]);  sum[i]=sum[i-1]+x[i]*p[i];  sump[i]=sump[i-1]+p[i]; } int h=0,t=1; for(i=1;i<=n;i++) {  //DP斜率最佳化，維護下凸函數  //f[j]+sum[j]-f[i]-sum[i]  //-----------------------<x[i],i>j,證明i狀態比j狀態更好  //    sump[j]-sump[i]  //隊首部分只需從最優的狀態開始就行，隊尾部分要舍掉不單調遞增的部分後再入隊  while(h<t&&getF(q[h+1],q[h])<x[i]*(sump[q[h+1]]-sump[q[h]])) h++;   f[i]=f[q[h]]+sum[q[h]]-x[i]*sump[q[h]]+x[i]*sump[i]-sum[i]+c[i];  while(h<t&&getF(q[t],i)*(sump[q[t-1]]-sump[q[t]])<=getF(q[t-1],q[t])*(sump[q[t]]-sump[i])) t--; //隊尾斜率比前面元素小的出隊  q[++t]=i; //新的入隊 } printf("%lld\n",f[n]); return 0;}