BZOJ3040 最短路 （堆最佳化dijkstra）

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這題不是裸的最短路嗎？但是一看資料範圍就傻了。點數10^6，邊數10^7。這個spfa就別想了（本來spfa就是相當不靠譜的玩意），看來是要用堆最佳化dijkstra了。但是，平時寫dijkstra時為了偷懶直接用的STL的priority_queue，沒辦法改變權值，所以都是直接把pair壓進堆裡。然後時間複雜度O(mlogm)，空間複雜度O(m)，不靠譜。手寫二元堆積？改變權值是O(logn)的，所以時間複雜度O(mlogn)，空間複雜度O(n)，還是要T。看來是需要一種比較牛逼的堆了。

Fibonacci堆就很牛逼，但是難寫難調（算導上都說它“編碼複雜度高”、“實踐價值不大”、“價值主要在學術方面”。所以我學習了一下它的一個好寫好調的替代品：Pairing Heap。它的結構其實就是堆有序的樹。下面簡單說一下它的幾種操作（假定為小根堆）。

• findMin() 直接返回樹根
• merge(a, b) 把權值較大的掛在權值較小的下面作為子女
• decreaseKey(a, v) 如果a是根節點，則不改變形態，否則斷開a和a的父節點，將兩樹進行merge
• deleteMin() 將根節點刪掉，然後將子節點從左至右（最左端為最近加入）分對合并，再將合并後的樹從右向左合并。
• delete(a) 執行decreaseKey(a, –oo)，然後執行deleteMin()

論文中說除了刪除操作為均攤O(logn)的以外其他的都是均攤O(1)（我只弄懂了論文中寫的均攤O(sqrt(n))的上界），於是這對於dijkstra最佳化就有協助了。因為對每條邊都要執行一次decreaseKey，所以decreaseKey從O(logn)最佳化為O(1)是相當有效。現在，總複雜度為O(nlogn＋m)，就可以通過題目了。