BZOJ3675: [Apio2014]序列分割

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【傳送門：BZOJ3675】簡要題意：

　　一開始給出n個數的一段序列，可以分割k次，每次只能分割一段序列，一段序列被分割後就變成兩個序列，每次分割的價值為分割的位置左邊的數的和乘右邊的數的和

　　求出最大價值

題解：

　　DP+斜率最佳化

　　首先來設f[i][k]為前i個數，分割k次得到的最大價值

　　接下來。。。

　　方程。。。。

　　方程。。。

　　方程。。

　　方程。

　　需要玄學思考

　　假設一段序列為4|1 2|3（|表示分割）

　　那麼f[2][1]=4*1=4

　　f[4][2]=4*(1+2+3)+(1+2)*3=f[2][1]+(4+1)*(3+2)！！

　　其實這裡用了乘法分配律

　　太棒了這樣就得到f[i][k]=max(f[j][k-1]+sum[j]*(sum[i]-sum[j]))

　　然後滾動數組f[i][now]=max(f[j][last]+sum[j]*(sum[i]-sum[j]))

　　再用斜率最佳化，美滋滋

　　設j1<j2<i

　　得到

　　f[j2][last]+sum[j2]*(sum[i]-sum[j2])>f[j1][last]+sum[j1]*(sum[i]-sum[j1])

　　f[j2][last]-f[j1][last]+sum[j1]^2-sum[j2]^2>(sum[j1]-sum[j2])*sum[i]

　　(f[j2][last]-f[j1][last]+sum[j1]^2-sum[j2]^2)/(sum[j1]-sum[j2])<sum[i]

　　因為sum[j1]-sum[j2]有可能等於0，所以在處理隊列的時候，如果存在sum[j1]-sum[j2]，要將j1給除掉，保留j2

　　注意加long long

參考代碼：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long LL;//f[i][now]=max(f[j][last]+sum[j]*(sum[i]-sum[j]))//j1<j2<i//f[j2][last]+sum[j2]*(sum[i]-sum[j2])>f[j1][last]+sum[j1]*(sum[i]-sum[j1])//f[j2][last]-f[j1][last]+sum[j1]^2-sum[j2]^2>(sum[j1]-sum[j2])*sum[i]//(f[j2][last]-f[j1][last]+sum[j1]^2-sum[j2]^2)/(sum[j1]-sum[j2])<sum[i]LL f[110000][2];LL sum[110000];int now=1,last=0;LL slop(int j1,int j2){    return (f[j2][last]-f[j1][last]-sum[j2]*sum[j2]+sum[j1]*sum[j1])/(sum[j1]-sum[j2]);}int list[110000];int main(){    int n,K;    scanf("%d%d",&n,&K);    sum[0]=0;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        int d;        scanf("%d",&d);        sum[i]=sum[i-1]+d;    }    memset(f,0,sizeof(f));    for(int k=1;k<=K;k++)    {        now^=1;last^=1;        int head=1,tail=0;list[head]=0;        for(int i=k;i<=n;i++)        {            while(head<tail&&(sum[list[head]]==sum[list[head]+1]||slop(list[head],list[head+1])<sum[i])) head++;            int j=list[head];            f[i][now]=f[j][last]+sum[j]*(sum[i]-sum[j]);            while(head<tail&&(sum[i]==sum[list[tail]]||slop(list[tail-1],list[tail])>slop(list[tail],i))) tail--;            list[++tail]=i;        }    }    printf("%lld\n",f[n][now]);    return 0;}

 

BZOJ3675: [Apio2014]序列分割