c語言演算法

一個複雜的工程通常可以分解成一組小任務的集合，完成這些小任務意味著整個工程的完成。例如，汽車裝配工程可分解為以下任務：將底盤放上裝配線，裝軸，將座位裝在底盤上，上漆，裝刹車，裝門等等。任務之間具有先後關係，例如在裝軸之前必須先將底板放上裝配線。任務的先後順序可用有向圖表示——稱為頂點活動（ Activity On Vertex, AOV）網路。有向圖的頂點代表任務，有向邊(i, j) 表示先後關係：任務j 開始前任務i 必須完成。圖1 - 4顯示了六個任務的工程，邊（ 1 , 4）表示任務1在任務4開始前完成，同樣邊（ 4 , 6）表示任務4在任務6開始前完成，邊（1 , 4）與（4 , 6）合起來可知任務1在任務6開始前完成，即前後關係是傳遞的。由此可知，邊（1 , 4）是多餘的，因為邊（1 , 3）和（3 , 4）已暗示了這種關係。

在很多條件下，任務的執行是連續進行的，例如汽車裝配問題或平時購買的標有“需要裝配”的消費品（單車、小孩的鞦韆裝置，割草機等等）。我們可根據所建議的順序來裝配。在由任務建立的有向圖中，邊（ i, j）表示在裝配序列中任務i 在任務j 的前面，具有這種性質的序列稱為拓撲序列（topological orders或topological sequences)。根據任務的有向圖建立拓撲序列的過程稱為拓撲排序（topological sorting）。圖1 - 4的任務有向圖有多種拓撲序列，其中的三種為1 2 3 4 5 6，1 3 2 4 5 6和2 1 5 3 4 6，序列1 4 2 3 5 6就不是拓撲序列，因為在這個序列中任務4在3的前面，而任務有向圖中的邊為（ 3 , 4），這種序列與邊（ 3 , 4）及其他邊所指示的序列相矛盾。可用貪婪演算法來建立拓撲序列。演算法按從左至右的步驟構造拓撲序列，每一步在排好的序列中加入一個頂點。利用如下貪婪準則來選擇頂點：從剩下的頂點中，選擇頂點w，使得w 不存在這樣的入邊（ v,w），其中頂點v 不在已排好的序列結構中出現。注意到如果加入的頂點w違背了這個準則（即有向圖中存在邊（ v,w）且v 不在已構造的序列中），則無法完成拓撲排序，因為頂點v 必須跟隨在頂點w 之後。貪婪演算法的虛擬碼如圖1 3 - 5所示。while 迴圈的每次迭代代表貪婪演算法的一個步驟。

現在用貪婪演算法來求解圖1 - 4的有向圖。首先從一個空序列V開始，第一步選擇V的第一個頂點。此時，在有向圖中有兩個候選頂點1和2，若選擇頂點2，則序列V=2，第一步完成。第二步選擇V的第二個頂點，根據貪婪準則可知候選頂點為1和5，若選擇5，則V=2 5。下一步，頂點1是唯一的候選，因此V=2 5 1。第四步，頂點3是唯一的候選，因此把頂點3加入V

得到V=2 5 1 3。在最後兩步分別加入頂點4和6 ，得V=2 5 1 3 4 6。

1. 貪婪演算法的正確性

為保證貪婪演算法算的正確性，需要證明： 1) 當演算法失敗時，有向圖沒有拓撲序列； 2) 若

演算法沒有失敗，V即是拓撲序列。2) 即是用貪婪準則來選取下一個頂點的直接結果， 1) 的證明見定理1 3 - 2，它證明了若演算法失敗，則有向圖中有環路。若有向圖中包含環qj qj + 1.qk qj , 則它沒有拓撲序列，因為該序列暗示了qj 一定要在qj 開始前完成。

定理1-2 如果圖1 3 - 5演算法失敗，則有向圖含有環路。

證明注意到當失敗時| V |