c語言演算法

給定n個點（xi，yi）（1≤i≤n），要求找出其中距離最近的兩個點。

例14-7 假設在一片金屬上鑽n個大小一樣的洞，如果洞太近，金屬可能會斷。若知道任意兩個洞的最小距離，可估計金屬斷裂的機率。這種最小距離問題實際上也就是距離最近的點對問題。

通過檢查所有的n(n- 1 ) / 2對點，並計算每一對點的距離，可以找出距離最近的一對點。這種方法所需要的時間為(n2 )。我們稱這種方法為直接方法。圖1 4 - 1 3中給出了分而治之求解演算法的虛擬碼。該演算法對於小的問題採用直接方法求解，而對於大的問題則首先把它劃分為兩個較小的問題，其中一個問題（稱為A）的大小為「n /2ù，另一個問題（稱為B）的大小為「n /2ù。初始時，最近的點對可能屬於如下三種情形之一： 1) 兩點都在A中（即最近的點對落在A中）；2) 兩點都在B中；3) 一點在A，一點在B。假定根據這三種情況來確定最近點對，則最近點對是所有三種情況中距離最小的一對點。在第一種情況下可對A進行遞迴求解，而在第二種情況下可對B進行遞迴求解。

if (n較小) {用直接法尋找最近點對

R e t u r n ; }

// n較大

將點集分成大致相等的兩個部分A和B

確定A和B中的最近點對

確定一點在A中、另一點在B中的最近點對

從上面得到的三對點中，找出距離最小的一對點

圖14-13 尋找最近的點對

為了確定第三種情況下的最近點對，需要採用一種不同的方法。這種方法取決於點集是如何被劃分成A、B的。一個合理的劃分方法是從xi（中間值）處劃一條垂線，線左邊的點屬於A，線右邊的點屬於B。位於垂線上的點可在A和B之間分配，以便滿足A、B的大小。

例2-8 考察圖14-14a 中從a到n的1 4個點。這些點標繪在圖14-14b 中。中點xi = 1，垂線x = 1如圖14-14b 中的虛線所示。虛線左邊的點(如b, c, h, n, i)屬於A，右邊的點(如a, e, f, j, k, l) 屬於B。d, g, m 落在垂線上，可將其中兩個加入A, 另一個加入B，以便A、B中包含相同的點數。假設d ,m加入A，g加入B。

設是i的最近點對和B的最近點對中距離較小的一對點。若第三種情況下的最近點對比小。則每一個點距垂線的距離必小於，這樣，就可以淘汰那些距垂線距離≥的點。圖1 4 - 1 5中的虛線是分割線。陰影部分以分割線為中線，寬為2 。邊界線及其以外的點均被淘汰掉，只有陰影中的點被保留下來，以便確定是否存在第三類點對（對應於第三種情況）其距離小於。用RA、RB 分別表示A和B中剩下的點。如果存在點對(p,q)，p?A, q?B且p, q的距離小於，則p?RA，q?RB。可以通過每次檢查RA 中一個點來尋找這樣的點對。假設考察RA 中的p 點，p的y 座標為p.y，那麼只需檢查RB 中滿足p.y- ＜q.y＜p.y+的q 點，看是否存在與p 間距小於的點。在圖14-16a 中給出了包含這種q 點的RB的範圍。因此，只需將RB 中位於×2 陰影內的點逐個與p 配對，以判斷p 是否是距離小於的第三類點。這個×2 地區被稱為是p的比較區（comparing region）。

例2-9 考察例2 - 8中的1 4個點。A中的最近點對為(b,h)，其距離約為0 . 3 1 6。B中最近點對為(f, j)，其距離為0 . 3，因此= 0 . 3。當考察是否存在第三類點時，除d, g, i, l, m 以外的點均被淘汰，因為它們距分割線x= 1的距離≥ 。RA ={d, i, m}，RB= {g, l}，由於d 和m的比較區中沒有點，只需考察i即可。i的比較區中僅含點l。計算i 和l的距離，發現它小於，因此(i, l) 是最近的點對。

為了確定一個距離更小的第三類點，RA 中的每個點最多隻需和RB 中的6個點比較，如圖1 4 - 1 6所示。