計算模 m 的 k 次根

真心說聲，不明白古人為什麼那麼聰明，由一個最簡單的帶餘除法引申出如此之多的智慧...

題目：已知 x^k = b ( mod m )  ， ( b, m ) = 1, ( E(m), k ) = 1;  告訴你 k, b, m 的值， 要你求：x 的值 

儲備知識：(1)
如果b^k = 1 ( mod m )，則 ( b^k )^t = 1 ( mod m ) , t = 1, 2, 3, ....

                    (2) 如果( a, b ) = 1 , 則由整數的整除性質知必定存在整數 s, t 使得 as + bt = 1 一定成立...

求：由( E(m), k ) = 1 知道存在整數 s，t 使得 k * t = E(m) * s + 1; 成立...
        令 x = b^t ; 則(b^t)^k = b^(E(m)*s+1) = b * b^(E(m)*s)  =  b * (b^E(m))^s

        由歐拉定理 b^E(m) = 1 ( mod m ) , ( b,m ) = 1;   則 (b^E(m))^s = 1 ( mod m ),

        則 b *(b^E(m))^s = b ( mod m ),所以最終需要求的 t 。

        根據 k * t = E(m) * s + 1 ， 求 m 的歐拉函數E(m), 再解二元一次不定方程，解的最後的 t 值..

        再通過快速冪求得 b^t ，注意一點，一定要解的 t 為最小正數解..

 

 附證明儲備知識(1):

57(312868261)  20:56:51
一開始學，多寫開來

a=1 mod m，則a=km+1，那麼a^n=(km+1)^n
展開來，全是m的倍數項，就多出一個1