球面兩點間的球面距離的計算

球面兩點間的球面距離的計算

 

實際上這是一個很簡單的問題，今天之所以把他提出來並作出解決方案，是因為昨天在討論項目的時候，項目lead提出計算地球球面上兩點的球面距離是很難的，實際上是一個很簡單的立體幾何的計算。另一方面，權當作是練習一下C/C++語言，並且鍛煉一下自己的設計能力吧。

 

1．  提出問題

已知球面的兩點，為了方便起見，以經緯度來唯一標識點的位置（相關概念請參照2.相關預備知識），要求計算出它們的球面距離。

 

 

2．  相關預備知識

這兒提到的預備知識是地球的相關知識，如形狀和大小、緯度和經度等相關概念。

（1）形狀和大小：

地球形狀是一個兩極部位略扁的不規則的球體。地球的平均半徑為6371千米，赤道半徑6378千米，極半徑6357千米。赤道周長約為4萬千米。

（2）緯線和緯度、經線和經度

①        緯線：緯線都是圓，也稱為緯線圈，長度不等。赤道最長，由赤道向兩極逐漸縮短，最後成一點。緯線指示東西方向。

②        緯度：赤道是零度緯線。赤道以北的緯度，叫北緯，用“N”作代號；赤道以南的緯度叫南緯，用“S”作代號。北緯、南緯各有90°。

③        經線：也叫子午線。經線是半圓，所有經線長相等。經線指示南北方向。

④        經度：零度經線叫做本初子午線。從本初子午線向東、向西各分作180度，以東的180°屬於東經，用“E”作代號；以西的180°屬於西經，用“W”作代號。

東西180°經線合為一條經線。

用20°W和160°E的經線圈，將地球分為東、西兩個半球。

 

3．  解決方案

 

如，先假設球的半徑為R，所給定的2點為A，B兩點，先假設A在北半球，B在南半球。這隻是其中的一種情況，至於其它的情況可以同樣的方法計算出，僅僅是大同小異而已。當然，還有特殊情況也不能忘了哦。

假設球心為點O，那麼最後得到的∠AOB的弧度乘以球的半徑R即為所求的球面距離。

設經過球的南極和北極的極點的直線為l，分別過點B、A作l的垂線，設垂點分別為D、C。

過點C作線BD的平行線，過B作CD的平行線，這兩條平行線必定相交，設交點為E，容易證明BDCE是一個矩形。

由於A、B點的經緯度已知，所以∠OBD和∠OAC也已知，設分別為β，α，由於半徑R已知，所以|BD| = R * cosβ，|AC| = R * cosα，|OD| = R * sinβ，|OC| = R * sinα。

由於點A、B的經度已知，所以不難求出∠ACE的值。所以三角形ACE中不難用餘弦定理求出|AE|的值。

在直角三角形ABE中，容易求出AB的值。此時三角形AOB三條邊都已知，所以∠AOB也可以用餘弦定理求出來，這樣AB的球面距離也迎刃而解了。

 

呵呵，高一下學期學的立體幾何，現在做起來竟然還有點吃力。本來想今天順便把代碼寫出來，算了，好晚了，明天再寫吧。

睡覺，忽忽！

 

（To be continued）