卡特蘭數 斯特林數

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卡特蘭數\(C_{2n}^n - C_{2n}^{n-1}\)
還有常用的遞推：

int main() {    scanf("%d", &n);    f[0] = 1, f[1] = 1;    for(int i=2; i<=n; i++) {        for(int j=0; j<i; j++) {            f[i] += f[j] * f[i-j-1];        }    }    printf("%d", f[n]);    return 0;}

貌似很多題都是第0項為1，第一項為1，第二項為2，第三項為5這樣的

第一類斯特林數
\(S(n,k) = (n-1)*S(n-1，k) + S(n-1,k-1)\)

第二類斯特林數
\(S(n,k) = k*S(n-1，k) + S(n-1,k-1)\)
\(S(n,1) = 1 \ \ (n \geq1 )\)
\(S(n,n) = 1，S(n,0)=0\)
對於第二類斯特林數公式的推導：
若第n個元素單獨成一個集合，則有方案數\(S(n-1,k-1)\)
若n和別的元素成一個集合，那麼n可以放到k個集合中\(k*S(n-1,k)\)

第二類斯特林數，可以求出將n個元素的集合拆分為k個的非空集合的方案數（相當於把n個不同的小球放入m個不可區分，一模一樣的盒子裡）

例如，將6本不同的書分為三組，求方案數
答案是S(6,3)，但我們還可以用別的方法做一下這道題
根據“先分組後分配”的思路，可以分為1,1,4；2,2,2；1,2,3三種情況
對於每種情況去重：
1,1,4：\(C_6^4=C_6^2=15\)，分完四本書，剩下的兩本自成一組（不用再除以\(A_2^2\)了）

如果你不信服的話，從另一個角度可以匯出一樣的式子：\(\frac{C_6^4C_2^1}{A_2^2} = C_6^4\)（如果兩個式子在數值上相同，那麼這兩個式子各自的組合意義可能是解決某個問題的兩種思路）
為什麼要除以\(A_2^2\)？假設有A書和B書，分為兩組（分組為：1,1），用\(C_2^1\)來算，是兩種方案嗎？A B 和 B A是沒有差別的，所以只有一種方案。我們只是分組，而這裡組和組是一樣的，就像兩個一模一樣的盒子

2,2,2：同上，\(\frac{C_6^2C_4^2}{A_3^3} = 15\)

1,2,3：\(C_6^3C_3^2 = 60\)

一共90種方案，而第二類斯特林數可以遞推求出：
x
1: 1
2: 1 1
3: 1 3 1
4: 1 7 6 1
5: 1 15 25 10 1
6: 1 31 90 65 15 1
7: 1 63 301 350 140 21 1
8: 1 127 966 1701 1050 266 28 1
9: 1 255 3025 7770 6951 2646 462 36 1
10: 1 511 9330 34105 42525 22827 5880 750 45 1
可得S(6,3) = 90

遞推程式（要是有錯的話，請在評論區指導一下我。。。）

#include <algorithm>#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>using namespace std;const int MAXN = 3000 + 10;int s[MAXN][MAXN],n;int main() {    scanf("%d", &n);    for(int i=1; i<=n; i++) {        s[i][1] = s[i][i] = 1;        for(int j=1; j<i; j++) {            s[i][j] = j * s[i-1][j] + s[i-1][j-1];        }    }    printf("x\n");    for(int i=1; i<=n; i++) {        printf("%d: ",i);        for(int j=1; j<=i; j++) {            printf("%d ", s[i][j]);        }        puts("");    }    return 0;}

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