[CF 279D]The Minimum Number of Variables[狀壓dp]

You've got a positive integer sequence a_{1, a2, ..., an. All numbers in the sequence are distinct. Let's fix the set of variables b1, b2, ..., bm. Initially each variablebi(1 ≤ i ≤ m) contains the value of zero. Consider the following sequence, consisting ofn operations.}

有n個數, 作為一組等式的得數.

有m個變數, 可以視為容器.

The first operation is assigning the value of a_{1 to some variablebx(1 ≤ x ≤ m). Each of the followingn - 1 operations is assigning to some variableby the value that is equal to the sum of values that are stored in the variablesbi andbj(1 ≤ i, j, y ≤ m). At that, the value that is assigned on thet-th operation, must equal at. For each operation numbersy, i, j are chosen anew.}

第一個變數首先賦值為a_{1, 接下來給其他的變數賦值(其他的變數可以是已經出現過的, 將覆蓋原值), 並且需要滿足第t個賦值語句的返回值與at.相等.}

Your task is to find the minimum number of variables m, such that those variables can help you perform the described sequence of operations.

問題是找出最小的m. 即容器個數.

思路:

用範例類比了一下, 前幾個還好判斷, 到後面就需要看看再往後是否需要用到這個數來決定是否覆蓋...有點像背包問題, 要合理地調度前面的變數...以免出現誤刪. 同時又要保證總的變數數最少.

用dp.

dp記錄目前狀態下需要的最少變數數...

看題解:

http://blog.sina.com.cn/s/blog_6ffc3bde01017l92.html

想法：   很明顯是一個DP題，當看到n<=23時也很容易想到是數位DP，但是如何DP卻很讓人無從下手。一般DP題就是遞推推公式，而公式又是由一些很顯然的很關鍵的規律得到的。
   我們可以從第一個數字開始掃，直到掃到最後一個數字，如何從當前數字掃到下一個數字是我們需要解決的問題。    我們可以將每個數字中的1理解為需要中繼的個數，遞迴時每次都去掉當前位置的1加上上一位置的1(站在上一狀態的角度想一想就可以理解為什麼要加上一位置的1了)和形成當前位置的數所需要的位置的1，用|（或運算）可以很巧妙得解決位置重複的問題。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;#define INF 25int n,a[25],dp[1<<23];//m表示狀態一共23位. 從右往左數. 哪一位為1則表示至少需要多少個中繼.int fun(int m,int x) //掃描到第x位至少需要多少個中繼(x從0開始){    if(dp[m]) return dp[m];    int c = __builtin_popcount(m),v = 0,mn = INF;//c下一狀態需要我保證的中繼的個數    for(int i = 0; i < x; i ++)    {        for(int j = 0; j <= i; j ++)        {            if(a[i] + a[j] == a[x])//如果這兩個結果相加可以得到最終結果(儘可能靠前),則...            {//應該觀察到, 每一個a[i]都對應一個變數b,因為結果要有容器.            //每一個現存的容器都對應了一個a[i].容器是游離的,未知的,只當需要的時候將它計算進來. 每一步都如此, 就可以保證正確.                v = fun((m&~(1<<x))|(1<<(x-1))|(1<<i)|(1<<j), x-1);                //第一項表示消除當前變數;1<<(x-1)表示掃描到了前一位,那麼這前一位必然要佔一個變數.                //後兩項就表示額外需要保留的中介項.(就這麼簡單?)                mn = min(mn,max(v,c));//其實所有的數字都是由c得到的，v只作為中介，將不同的c作比較            }        }    }    return dp[m] = mn;}int main(){    scanf("%d",&n);    for(int i = 0; i < n; i ++)        scanf("%d",&a[i]);    dp[1] = 1;//初始條件為掃描到第一位..必然至少需要1個變數    int ans = fun(1<<(n-1),n-1);    if(ans == 25) ans = -1;    printf("%d\n",ans);    return 0;}

感覺仍是非常難以理解啊......

主要是要培養另一種分析問題的角度.

在本題中,則是:

抓住核心:

每一個得數由兩個加數組成, 這兩個加數都是之前的某個得數.

如果就選擇這兩個得數作為加數, 那麼這兩個得數對應的容器就要保留下來作為中轉,而不能被覆蓋(複用).

而當前的這個得數需要使用的容器又可以由更靠後的需求決定...

對!還有一點!!容器的編號是不需要考慮的,只要記錄所需容器的最大個數,那麼就一定夠用啦.

m就是有用容器的保留...掃描到不同位時m的變化可看做變數的申請與釋放!

本題值得回味啊....

附popcount的一種二分實現...

unsigned popcount (unsigned u){    u = (u & 0x55555555) + ((u >> 1) & 0x55555555);    u = (u & 0x33333333) + ((u >> 2) & 0x33333333);    u = (u & 0x0F0F0F0F) + ((u >> 4) & 0x0F0F0F0F);    u = (u & 0x00FF00FF) + ((u >> 8) & 0x00FF00FF);    u = (u & 0x0000FFFF) + ((u >> 16) & 0x0000FFFF);    return u;}

略神呐><