第二十二章：圖的基本演算法

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一、圖的概念

圖的分類：

	是否有環	是否有重邊	是否有有向邊
Simple Undirected Graph（簡單無向圖）	×	×	×
Multigraph（多重圖）	×	√	×
Pseudograph（偽圖）	√	√	×
Simple Directed Graph（簡單有向圖）	×	×	√
Directed Multigraph（有向多重圖）	√	√	√
Mixed Graph（混合圖）	√	√	有向邊和無向邊共存

Infinite Graph：有無限個點的圖。Finite Graph：有有限個點的圖。MultiEdge：重邊。Isolated Vertex：度數為0的點。Pendant Vertex：度數為1的點。Pendant Edge：串連兩個懸掛點的邊。完全圖（Kn）：任意兩個點之間都有一條邊。Complement of Graph（補圖）：和G有著相同的點，但是如果補圖中有某個邊，則圖中就沒有。注意點：1、小的圖通常用鄰接矩陣。2、一般的圖演算法都是用鄰接表。3、鄰接表的儲存空間為O(V+E)。4、鄰接矩陣儲存空間為O(V^2)。5、對於無向圖，如果用鄰接矩陣儲存，則可以只儲存主對角線和主對角線以上的部分，可以節約一般空間。6、有向邊用(u,v)表示，無向邊用{u,v}表示。7、如果是加權圖，則鄰接表表示可以在鄰接表的每個節點中加一個weight，而鄰接矩陣可以在儲存格的位置用權值替代。8、無向圖中一個環有兩個度。9、無向圖中sum(deg(v))=2e，因此度數之和一定是偶數，如果給定度數序列之和為奇數，則肯定不是無向圖。10、有向圖中sum(deg-(v))=sum(deg+(v))=|E|。對於鄰接表表示有一點要注意：如果A與B、C、D相連，則A的鄰接表的順序是不定的，可能是D、C、B，也可能是C、D、B。以下是樹的概念，但是後面DFS、BFS產生深度優先樹和廣度優先樹時會用到：v的祖先：包括v和v的真祖先。v的真祖先：如果存在u（不含v），使得u到v存在一條路徑，則u為v的真祖先。v的後裔：包括v和v的真後裔。v的真後裔：如果存在u（不含v），使得v到u有一條路徑，則u為v的真後裔。強連通圖：任意兩個頂點u,v，u到v和v到u都有路徑。弱連通圖：此圖為有向圖，他不是強連通圖，但是如果把有向邊變成無向邊後，圖為連通的，則此圖為弱連通圖。二分圖（Bipartite Graph）：如果一個圖的點集能被分成兩個不相交的子集V1、V2，使得每條邊都是V1中的點與V2中的點串連。完全二分圖：點集分為兩個子集後，每個子集中任意抽一個點，他們之間都有邊。著色定理：如果圖是二分圖若且唯若給圖中每個點賦予紅藍兩色之一，使得沒有一條邊的兩個頂點是同一個顏色。著色定理可以通過BFS來實現，即距離為奇數的頂點著色為藍色，偶數的頂點著色為紅色，著色完畢需要O(V+E)，然後在遍曆每條邊，檢查是否著色正確，O（V+E）。定理：圖是二分圖若且唯若不可能從某個頂點開始走，經過奇數條邊又回到起點。割點：如果去掉某個點，連通分支數增加，則此點為割點。割邊（橋）：如果去掉某個邊，連通分支數增加，則此邊為割邊。歐拉迴路：在圖中能找到遍曆每條邊一次的簡單迴路（注意是簡單迴路）；歐拉路徑：在圖中能找到遍曆每條邊一次的簡單路徑；在無向圖中，圖中有歐拉迴路若且唯若圖中每個頂點的度數為偶數；在有向圖中，圖中有歐拉迴路若且唯若圖中每個頂點出度和入度相同；在無向圖中，圖中有歐拉路徑當且精當圖中只有兩個頂點度數為奇數；在有向圖中，圖中有歐拉路徑若且唯若圖中只有兩個點，出度入度相差奇數；漢密爾頓迴路：在圖中能找到能遍曆每個點一次的簡單迴路；漢密爾頓路徑：在圖中能找到能遍曆每個點一次的簡單路徑；連通分支：連通的點的集合，比如{A,B,C}為圖的一個連通分支；在無向圖中判斷是否存在迴路：|E|>|V|-1且連通圖，則一定有迴路。在有向圖中判斷是否存在迴路：DFS有反向邊。二、BFS用途：(1)遍曆圖。(2)在圖的每條邊的權值都為1的前提下，計算最短路徑。注意點：(1)任意一條邊(u,v)，d[v]<=d[u]+1；(2)在隊列中，設隊頭為u，隊尾為v，d[v]<=d[u]+1；最最重要的一點：BFS能夠產生最短路徑樹，但是並不是所有的最短路徑樹都能夠通過BFS產生。例如：

三、DFS

樹邊：深度優先樹中出現的邊。正向邊：u到非直接後裔的邊。反向邊：u到祖先（包括自己）的邊。交叉邊：u和v不是祖先後裔關係。在無向圖中，只有樹邊和反向邊。四、拓撲排序如果存在(u,v)，則f[u]>f[v].
拓撲排序有兩種實現：(1)按f[]降序DFS。(2)每次刪除一個入度為0的點。