第5章 基礎——5.8. 進位.2

5.８. 進位.2

5.8.1十六進位

說
到十六進位，首先會問：總共只有10個阿拉伯數字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，如何表達“逢16進1”的概念呢？方法是用英文字母（大小寫
均可）：A、B、C、D、E、F表達10～15。所以，如果我告訴你：這是一個數：“17FCA0”，你肯定能猜到它是一個十六進位的數，不過如果我說的
是：“12390”，就不好區分是什麼進位了。

在C++語言中，並不支援直接在代碼中寫一個2進位數（後面談為什麼），但倒是支援直接寫一個十六進位的數，為了能和十進位數區分，C++規定十六進位數需要一個首碼：“0x”（數字0和小寫字母x），比如：

int a = 0x17FCA0;

為
什麼已經有十進位數了，還要再搞出個十六進位數呢？是不是現實生活中有這個需求，比如有什麼東西的計數特別適合用“十六進位”呢？生活中確實不僅僅只有十
進位。比如“襪子”就很像二進位計數：沒有襪子是0隻襪子，1隻襪子是1隻襪子，2隻襪子……逢二進一：成1雙襪子，果然只需要0和1。

 

〖小提示〗：生活中的各種進位

時間是60進位，角度也是60進位。說到“一打東西”時，用的是12進位。請各位課後可以想想還有什麼進位。

 

其
實十六進位的存在，純粹是為了二進位。二進位是肯定必定以及一定要存在的，因為機器用的就它。但位元實在太“佔位置”了，雖然最直觀，但讀寫都不方
便。如果用十進位呢——當然，編程式我們最常用還是十進位，僅當要需要表達和機器相關的資料，一些記憶體位址時，才會考慮二進位——十進位數和二進位轉換比
較複雜，十六進位就不一樣了，它和二進位的之間的轉換非常簡單快速。

一個數用二進位表達，實際就是由多個“2的N次方的數”相加。因為16是2的4次方，因此非常這兩個進位之間的轉換特別容易（想想10是2的幾次方呢？）。

或
許還會問：還有很多數是2的整數次乘方啊，比如8是2的3次方，32是2的5次方，為什麼偏偏是16呢？原來。一個位元組（byte）是8位，但用“2的8
次方”作為進位，顯然太大了。另外，我們還會有把一個位元組分為“高位元組（高4位）”和“低位元組（低4位”的需要，所以，用16（2的4次方）來作為進位最
方便。說千道萬，試一試會更清楚些：下面就讓我們做一些位元與十六進位數的互換運算。

• 位元 -> 十六進位數

我們首將就以“半個位元組（4位）”為例，看看4位的位元如何轉換成十六進位。因為是剛開始，所以我們先保留轉換到十進位的中間步驟，但慢慢的，我們要學會直接轉換。

1000(2) => 8+0+0+0 = 8 => 0x8

1001(2) => 8+0+0+1 = 9 => 0x9

1010(2) => 8+0+2+0 = 10 => 0xA

1111(2) => 8+4+2+1 = 15 => 0xF

最後一個例子最說明問題：轉換位元，請以4位為一組，然後從高位看到低位，各位的權值依次是：“8、4、2、1”。如果該位是1，就加上權值，否則不加，就可以得到一個十進位數，然後再快速換算成十六進位（要求你熟記A～F對應的十進位值）。

真正能體現十六進位的方便，在於位元更多時，比如當面對一個完整的一個位元組時，比如（為了不引起眼花，我們每4位加一個空格）： 0101 1110。這個位元如何轉換成十六進位呢？

第一種方法：轉換成十進位數，再轉換為十六進位：

先換算成十六進位：0101 1110 = 0 + (2的6次方) + 0 + (2的4次方) + (2的3次方) + (2的2次方) + (2的1次方:2) + 0 = 94。

還得把十進位的94換算成十六進位，如何算？我們還沒教呢，這裡先給出答案：94 = 0x5E。

 

〖課堂作業〗：體驗位元換算至10進位的“笨方法”

請拿起筆，立即用以上方法中步驟一，將以下位元換算成十進位數：

８位元：11011100、01110110、10010101、11011101；

16位元：1101101000110101

 

第二種方法：每4位直接換算成十六進位數，得到的就是結果：

高4位：0101(2) -> 4+1 -> 0x5

低4位：1110(2) -> 8+4+2 -> 0xE

結果就是：0x5E。

來一個痛點的：16位的位元：1101101000110101，如何換算成十六進位呢？

首先，每4位拆成一組：1101 1010 0011 0101

1101 -> 13 -> 0xE

1010 -> 10 -> 0xA

0011 -> 0x3

0101 -> 0x6

結果就是：0xEA36。

• 十六進位數 -> 位元

十六進位數的換算成位元，也有兩種方法，不過我們直接學習“聰明”的方法， “笨”的方法，留到後面“進位換算”時再提。

前面給出“8、4、2、1”口訣，現在只需要學會給出一個16以內的數，你能拼出它的位元即可，比如：

0xA -> 10 = 8 + 2 -> 1010(2)

0xD -> 13 = 8 + 4 + 1 -> 1101(2)

0xF -> 15 = 8 + 4 + 2 + 1 -> 1111(2)

再如：

0xC9D5 要換算成進二進位，類似：

0xC -> 12 = 8 + 4 -> 1100(2)

0x9 -> 8 + 1 -> 1001(2)

0xD -> 1101(2)

0x5 -> 4 + 1 -> 0101

結果是：11001001 11010101。請特別注意最後0x5的轉換，不足4位，前面補0。

 

有關十六進位的內容，我們就一直講它如何與二進位制互換？沒錯，因為在我們編程時，我們絕大多數要把十六進位就當成是二進位的一個馬甲——位元穿上這馬甲，圖的就是讓人類看起來舒服一些，僅此而已。

5.8.2.八進位

八進位，二進位的另一個小尺寸的馬甲。不過我們用得並不多。關於它，首先要說的就是：在C++程式中，當一個數字以0開始時，它就是八進位。這是一件不太直觀的事情。

int a = 010; //對不起，這不是4，也不是10，它是8。

八進位，使用了0～7這8個阿拉伯數字。逢8則進1，所以看到八進位的“10”，你應該可以換算出它其實是一個十進位的8。八進位各位的權值，以8為基數。下面的算式示範了八進位的173如何換算成十進位的123。

173(8) -> 1×(8的2次方：64) + 7×(8的1次方：8) + 3 -> 123(10)

我
們再看看：一個二進數，如何換成八進位：“11101111”
是一個8位的位元。我們從低位往高位，每三位分一組（想想，為什麼是每三位），得到：11、101、111，然後每仿效換成十進位（但3位的二進位
數，肯定不會超過7，所以，說是換算成八進位，或許更好理解）：

11(2)-> 3

101(2) -> 5

111(2) -> 7

結果是：357(8)。

八位元換算成位元，應該是張口就來。請熟記八位元，每個數的二進位值：

7 -> 111(2)	3 -> 011(2)
6 -> 110(2)	2 -> 010(2)
5 -> 101(2)	1 -> 001(2)
4 -> 100(2)	0 000(2)

(表格 4 八位元與位元速換表)

或許，你頭腦裡閃現出一個，八位元與十六進位數互換的方法了，沒有嗎？

5.8.3.進位換算

先說一下前小節的答案吧。八位元與十六進位數互換的方法之一，就是用二進位做橋樑。

以下是我們已經學會的換算過程：

二進位 -> 八進位、十六進位

十六進位、八進位 -> 二進位

二進位、八進位、十六進位 -> 十進位

本節我們主要學習，十進位數，如何換算成其它進位，它們都有一個統一的方法，稱為“連除法”。

• 十進位數 -> 位元

將十進位數除以2，得到商和餘數，將商再除以2，直到商為0；然後將本過程中得到的餘數（肯定不是0就是1），先得到的排後邊，後得到的排前邊，就是結果了。

例子：將6換算成位元：

運算式	商	餘數
6÷2	3	0
3÷2	1	1
1÷2	0	1

表格 5 十進位數6換算成二進位過程表

將餘數按得到的先後，倒序排列，得到“110”，正是6的二進位表達。

如果要應付考試，慢騰騰地畫上面那張表，顯然會急死人，所以通常是在草稿紙上如所示進行演算：

圖 5-22 連除法演算過程草圖

 

• 十進位數 -> 八位元

方法類似換算成位元，只不過除數變成8。

例子：將289換算成八位元：

運算式	商	餘數
289÷8	36	1
36÷8	4	4
4÷8	0	4

表格 5-6 十進位轉八進位樣本

將餘數按得到的先後，倒序排列，得到“441”，正是289的八進位表達。

• 十進位數 -> 十六進位數

方法類似換算成位元，只不過除數變成16。

例子：將872換算成十六進位數：

運算式	商	餘數
874÷16	36	1
54÷16	4	4
3÷16	0	4

表格 5-7 十進位轉十六進位樣本

將餘數按得到的先後，倒序排列，得到“0x36A”，正是874的十六進位表達。

5.8.4.浮點數

在C++程式中，以“位”的形式訪問一個整數（尤其是不帶正負號的整數），比較常見，比如“位移”操作（將一個位元中的每一位，同時向左向右移動若干位）、或者按位“與”、“或”、“異或”等。但我們很少對一個“非整數”進行此類操作。

“
浮點數/floating point
numbers”是電腦用來“近似”表達實數的一種方法。中學時學習的“科學計數法”，就有點類似。另外，並不能將“浮點數”和“N進位”二者可以是表
達同一個數的兩上不同切入點，換句話說，存在十進位的浮點數，也存在二進位的浮點數。要不，我們就來看一個十進位數的浮點標記法：

9.57 × （10的2次方）

這個數是什嗎？其實它就是實數“957.0”的浮點標記法。

一個規範的“浮點數”表達方式，需要滿足如下特徵.

運算式：d.dd...d × (B 的 e 次方)。

其中，d.dd...d 稱為“尾數”（更通俗的說法是：“有效數字”），B 稱為“基數”，e稱為“指數”。

對於不同進位，則首先表現在B的值，B是2，就是二進位，是10，就是十進位。當然，“尾數”中每一個d的取值範圍，也要隨進位變化而變，當為十進位數，d就是0～9，為位元時，d就只能是0～1。

再者，“尾數”中的整數部分（即小數點的左部），不能為0。因此，類似下面的數，它們都不是規範的浮點數：

10.123 × (10的2次方)

2.0101 × (2的3次方)

0.0134 × (10的-1次方)

〖課堂作業〗：浮點數的規範表達

請指出三個浮點數運算式的錯誤，並以正確方式寫出（數值大小必須保持一致）。

 

如果明確使用二進位表達的話，則是：d.dd...d × (2 的 e 次方)。其中每一位d都只能是0或1，同樣，整數部分不能是0。

第一個規範的浮點數，都可以通過以下運算式計算得到：

±(d0 + d1×(B的-1次方) + d2×(B的-2次方) + d3×(B的-3次方) + ... + dn×（B的-n次方))×(B的e次方)

別被這個長長和式子嚇倒！它不過是讓我們回想起小學時光而已。我們舉一個例子，假設有一個十進位的浮點數：3.456×(10的3次方)

我用“0.1”表示“10的-1次方”，則有：

則有：3.456 = 3 + 4×0.1 + 5×0.01 + 6×0.001

所以：3.456×(10的3次方) = (3 + 4×0.1 + 5×0.01 + 6×0.001)×(10的3次方)。

沒錯，小學時，我們都會念：“小數點之後第一位，表示0.1，第二位，表示0.01，第三位，表示0.001……”那二進位呢？假設也用最直觀的方式表示一個帶小數的二進位：

1111.1111

2的0次方（=0），1次方（=1），2次方（=4），3次方（=8）……

小數點往右，則是——

2的-1次方（=0.5），-2次方（=0.25），-3次方（0.125）、-4次方（=0.0625）……

〖課堂作業〗：0.1 如何表達？

不需要寫出“尾數”、“指數”，請以前述內容為例，請嘗試寫出十進位數0.1的小數部分，如何二進位表達：0.000______。

 

顯然，小數點後面三位，必須都為0，因為它們權值，都比0.1大，然後大概可以這樣拼湊：

首先我們讓2的-4次方，加上2的-5次方：

0.0625 + 0.03125 = 0.09375。

很
接近了，但後面不能再加上2的-6次方（0.015625），加上就超出0.1了，加2的-7次方（0.0078125）也不行……加上2的-8次方
（0.00390625），得到0.09765625，越發逼近，但它終究還不是0.1。沒關係，這樣一直拼湊下去，或許就能剛好湊出一個0.1。如果一
直湊不出來呢？也沒關係嘛，讓我們用上高中的數學知識，假如允許我們這樣無限地——注意，是無限地——湊下去，那麼什麼數都可以逼近逼近，直到在數學被認
為相等。

〖小提示〗：0.9999999…… 等於1嗎？

高中在學習“極限”時，數學老師一定告訴過你了，當0.9999……後面有無窮盡個9時，那麼0.9999999……就等於1。

 

可惜，“極限”存在於數學世界中，在現實中，電腦的記憶體容量不僅不是“無窮盡”的，而且是寶貴的，所以，再說一次：“浮點數是電腦用來‘近似’表達實數的一種方法”。如果以四個位元組來儲存，那麼總共才32位。

當
然，似乎也並不是所有數字，都無法精確地用浮點表達，比如，0.5，那就是2的-1次方，非常精確。但是，這也只是說，你直接在代碼裡，寫一個0.5時，
它是精確的，如果它是通過一個“算式”計算得到，而該算式中又存在一些個無法精確表達的浮點數，比如：0.01×10.0÷0.2，誰也不好保證，它能在
電腦中得到一個精確的0.5。這就是比較浮點數時，所需要注意的精度問題，請看下面代碼：

    if (0.01f * 10.0f / 0.2f == 0.5f)
    {
        cout << "yes!" << endl;
    }
    else
    {
        cout << "no." << endl;
    }

C++
程式用*代表乘號，/代表除號。而“0.01f”末尾的f，表示這是一個單精確度的浮點數。上面程式運行時，將輸出“no.”。也就是說，此時
“0.01×10.0÷0.2”並不等於0.5。這種問題如何解決呢？我們並不急於在此處提出答案，重要的是，你必須記住這一問題，並理解它的原因。

〖小提示〗：電腦不可信了嗎？

曾經有學生問我，我一直以為，電腦計算比人類精確多
了，可是今天看起來電腦的計算也很不可信啊？連小學生都會的題，它也能算錯？放心吧，儘管浮點數不精確，但它也是一種“非常精確的不精確”，問題完全可
溯可查可解決。另外，我看到一些不知其所以然的程式員，認為寫一個這樣的判斷： “if (0.1 == 0.1)
...”，也要擔心個半天，放心吧，如果這樣的判斷出錯，那電腦真的可以扔了。

 

電腦通常提供兩種精度的浮點數表達方法，其中一種不太精確，另一種則更不精確——噢，這樣說有點消極，重來：“其中一種不太精確，另一種則比較精確。”。不太精確的，就是“單精確度浮點數”，比較精確的，就是“雙精確度浮點數”。

• 單精確度浮點數

C++用float類型表示單精確度浮點數。它佔用4個位元組，合32位。其中符號、指數、尾數各自佔用的位域如所示：

圖 5-23 單精確度浮點數位域

 

如果代碼中寫一個字面常量的浮點數，需要在數字尾部，加上字母f，比如：0.1f,或10f，預設情況下，C++將字面上的一個帶小數字，當成雙精確度浮點數。

• 雙精確度浮點數

C++用double類型表示雙精確度浮點數。它佔用8個位元組，合64位。其中符號、指數、尾數各自佔用的位域如所示：

圖 5-24 雙精確度浮點數位域

 

當在代碼中寫一個數字，如果不帶小數，則預設是整型數，比如：10，如果加上小數點，比如：10.0，並且沒有尾隨字母f，則C++將之當成double類型。

以上並不是有關浮點數表達的全部知識，要表達一個浮點數，還需要很多約定。考慮到編寫C++程式時，我們只會（也只允許）對整數類型（包括int, long, char等）的資料進行按位操作，浮點數的基礎知識，我們暫時只講到這裡。

〖課堂作業〗：浮點數精度練習

請將前述有關“0.01×10.0÷0.2”判斷是否等於0.5代碼，寫成一個控制台測試專案。並且分別針對float類型和double類型進行測試，看看結果是否有區別。