第五章第五節 四元數

5.5 四元數

    最後一種方位表示可以用軸角表示的變種，實際上我們用他表示旋轉的時候，也可以簡化的從繞軸旋轉的角度來看待這種標記法，這就是四元數，由愛爾蘭數學家William Hamilton爵士與19世紀發明。並由Ken Shoemake在20世紀80年代引入電腦圖形領域。四元數由四個數組成，並且沒有萬向鎖的問題。並且在數學上面的串連操作非常簡單。因此如果正確構造的話，它在旋轉向量計算方面非常有效。

    雖然任何一個四元數都可以用來表示旋轉。但是我們主要使用的還是單位四元素。所謂的單位四元數即是w2+ v*v=1,其中w是向量分部，v是數量分部。使用單位四元數的理由有三個：一是使得旋轉和轉換計算更加有效率。二是減少了浮點數錯誤，因為正規化後，數字都在-1到1之間，浮點數在這個範圍內的精度非常高。最後單位四元素和軸角表示天然的在形式上的統一。一個單位四元數，數量w可以看做一個旋轉角度θ，更規範的說法是w=cos（θ/2）,

v=sin(θ/2)r.比如我們想要繞z軸旋轉90度，我們的軸向量是（0,0,1），旋轉角度的一半是π/4(弧度)，這個四元數各個分部就是  w=cos(π/4)，x =y==0*sin(π/4)=0,z=1*sin(π/4)= sin(π/4).

    四元數的加法和內積與向量的加法和內積一樣。一個四元數乘以-1，結果與原四元數互為相反數。四元數的相反數表示旋轉的方向相反，但是他並不是表示原四元數表示的旋轉的逆，如果原四元數表示繞軸v旋轉θ度角，相反數則表示繞軸-v旋轉2π-θ度角。因此旋轉的結果是一樣的。四元數的長度用四個分量的平方和再開方來計算。正規化一個四元數用四元數除以他的長度來擷取。

    四元數的內積和向量一樣，用每個分量的積然後求和。如果內積接近1，表示他們表示的旋轉越接近。因為我們知道四元數的相反數表示相同的旋轉，因此如果內積結果越接近-1，表示他們也是越接近相同的旋轉。

    四元數求逆非常簡單，因為繞一個軸旋轉2θ，他的逆可以看成繞這個軸旋轉-2θ，因此單位四元數 （cos(θ),sin(θ)x,sin(θ)y,sin(θ)z) 的逆是（cos(-θ),sin(-θ)x,sin(-θ)y,sin(-θ)z) 也就是（cos(θ),-sin(θ)x,-sin(θ)y,-sin(θ)z) 因此四元數（w,x,y,z)的逆為(w,-x,-y,-z)。