演算法導論第九章：中位元和順序統計學

在一個有n個元素組成的集合中，第i個順序統計量是該集合中第i小的元素。中位元是出現在i=(n+1)/2處（下中位）或i=(n+1)/2+1處（上中位）。

 

9.1最小值和最大值

在一個有n個元素的集合中，要做多少次比較才能確定其最小元素呢？可以很容易地給出n-1這個上界：依次查看集合中的每個元素，並記錄比較過程中的最小元素。

 

n-1也是這個問題的比較次數下界：對於任意一個確定最小值的演算法，可以把它看做是在各元素之間進行的一場錦標賽，每次比較都是錦標賽中的一場比賽，兩個元素中較小的一方獲勝，有一點很關鍵，就是除了最終獲勝者之外，每個元素都少輸掉至少一場比賽；而至少有n-1場比賽。

 

 

同時找出最大值可最小值

 

我們可以獨立地找出最大值和最小值，各用n-1次比較。事實上，至多3(n/2)次比較久足以同時找到最小值和最大值。做法是記錄比較過程遇到的最小值和最大值。我們不是將每一個輸入元素與當前的最大值和最小值進行比較。而是成對地處理元素。先將一對輸入元素互相比較，然後把較大的與當前最大值進行比較，較小的與當前最小值進行比較，因此每對元素需要比較3次。

 

練習：

9.1-1證明：在最壞情況下，利用n+lgn-2次比較，即可以找到n個元素中的第2小的元素。

參考答案：（從網上找的答案）

將n個元素進行兩兩比較，將較大的淘汰，較小的留下。這樣通過n/2次比較就剩下n/2個元素。再進行第二輪；如此往複直到得出最小的元素。這個過程可以用一棵二叉樹來描述。那麼第二小的元素只有在於最小元素的比較才會被淘汰。最小的元素進行過的元素有lgn-1個。於是在進行lgn-2次比較就可以得出第二小的元素。

 

PS：這個解法的問題在於，如何記住與最小元素比較過的元素集合，難道要整棵樹建出來。這樣的話這個演算法沒有什麼實際意義。

 

 

9.2以期望線性時間做選擇

 一般的選擇問題比找最小值的簡單問題更難，兩種問題的漸進已耗用時間卻是相同的都是Θ(n)。本節介紹一種解決選擇問題的分治演算法，即RANDOMIZED-SELECT演算法，以第七章的快速排序演算法為模型，如同在排序中一樣，對輸入的數組進行遞迴劃分，但和快速排序不同的是，快速排序會遞迴處理劃分的兩邊，而RANDOMIZED-SELECT只處理劃分的一邊。RANDOMIZED-SELECT的期望時間為Θ(n)。

 

RANDOMIZED-SELECT(A,p,r,i)

1  if p=r

2    then return A[p]

3  q<--RANDOMIZED-PARTITION(A,p,r)

4  k<--q-p+1

5  if i=k

6    then return A[q]

7  elseif i<k

8    then return RANDOMIZED-SELECT(A,p,q-1,i)

9 else return RANDOMIZED-SELECT(A,q+1,r,i-k)

 

RANDOMIZED-PARTITION就是快速排序演算法中的partition過程。

RANDOMIZED-SELECT的最壞已耗用時間是n2。期望已耗用時間為n。

 

思考題：

9-2帶權中位元

對分別具有正的權重w1,w2,...,wn且∑wi=1的n個不同元素x1,x2,...,xn，帶權中位元是滿足如下條件的元素xk：∑(xi<xk)<1/2且∑(xi>xk)<=1/2。

a)論證如果wi=1/n，那麼x1,x2,x3...,xn的中位元即是帶權中位元。

假設集合xi的中位元為xk，滿足xi<xk的元素個數和xi>xk的元素個數都約為n/2。所以滿足帶權中位元的定義。

b)說明如何通過排序求出n個元素的帶權中位元。

對xi進行排序，依照排序後的順序依次計算前k個權重的和。當第一次計算到某個位置發現權重和大於或等於1/2時，xk就為帶權中位元。

c)說明如何利用一的中位元演算法，來求帶權中位元。

以RANDOMIZED-SELECT演算法為例，我們以對xi的快速排序演算法為基礎，區別在於，我們不是尋找第k大的數，而是尋找使∑(xi<=xk)>=m滿足的最小k位置。演算法可以從RANDOMIZED-SELECT修改而來。

WRANDOMIZED-SELECT(A,p,r,m)

1  if p=r

2    then return A[p]

3  q<--RANDOMIZED-PARTITION(A,p,r)

4  計算A[p...q]的權重和m'

5  if m=m'

6    then return A[q]

7  elseif m<m'

8    then return WRANDOMIZED-SELECT(A,p,q-1,m)

9 else return WRANDOMIZED-SELECT(A,q+1,r,m'-m)

 

 

郵局位置問題：已知n個點p1,p2,...,pn即它們相練習的權重w1,w2,...,wn。我們希望能找到一點p(不一定是輸入焦點中的一個)，使得何時∑wiD(p,pi)最小，此處D(a,b)表示點a與b之間的距離。

 

d)證明帶權中位元是一維郵局位置問題的最佳解決方案，其中所有的點都是實數。一維意味著d(a,b)=|a-b|。

首先證明p點必然可以是輸入焦點中的一點，採用反證法：假設p是pk和pk+1之間的一點。如果∑(i=1~k)wi>=1/2,那麼pk點將是一個更優(或同優)的點，pk+1將是一個更優的點。在再證明帶權中位元就是最優點,同樣採用反證法：假設pk是帶權中位點，那麼對於如果選取pl（l<k），那麼由於∑(i=1~l)wi<1/2，那麼pl+1是一個更優的點。如果選取pm（m>k），那麼由於∑(i=m~l)wi<1/2，那麼pm-1是一個更優的點。

 

e)找出二維郵局位置問題的最佳解答。其中所有的點都是(x,y)座標組，並且點a(x1,y1)和b(x2,y2)之間的距離是Manhanttan距離：d(a,b) = |x1-x2|+|y1-y2|。

只要分別從x1,x2,...,xn和y1,y2,...,yn找出帶權中位元xi,yj。那麼點(xi,yj)就是最佳位置。