中國剩餘定理

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中國剩餘定理介紹

在《孫子算經》中有這樣一個問題：“今有物不知其數，三三數之剩二（除以3餘2），五五數之剩三（除以5餘3），七七數之剩二（除以7餘2），問物幾何？”這個問題稱為“孫子問題”，

明朝數學家程大位在他著的《演算法統宗》(1593年)中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法:  

三人同行七十稀，   

五樹梅花甘一枝，   

七子團圓正半月，   

除百零五便得知。  

 "正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，當所得的數比105大時，就不斷減105，直到使之小於105；這相當於用105去除，求出餘數。用數學的方式表達就是（70*3+21*5+15*7）%105=23

該問題的一般解法在國際上稱為“中國剩餘定理”。具體解法可以分為三步：

1. 找出三個公倍數：

從3和5的公倍數中找出被7除餘1的最小數15；

從3和7的公倍數中找出被5除餘1 的最小數21；

從5和7的公倍數中找出除3餘1的最小數70。

2. 求稍微變化後的三個數的和：

用15乘以2（2為最終結果除以7的餘數）；

用21乘以3（3為最終結果除以5的餘數）；

用70乘以2（2為最終結果除以3的餘數）；

把三個乘積相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。

3. 求合格最小數：

用三個乘積的和233除以3，5，7三個數的最小公倍數105，得到餘數23，即233%5=23。這個餘數23就是合格最小數。

中國剩餘定理分析（兩兩互質）

我們可以將“孫子問題”分解成幾個簡單的小問題。

首先，我們假設n1是滿足除以3餘2的一個數，比如2，5，8等等。同樣，我們假設n2是滿足除以5餘3的一個數，n3是滿足除以7餘2的一個數。

有了這些假設，我們先從n1角度分析，已知n1滿足除以3餘2，能不能使得 n1+n2 的和仍然滿足除以3餘2呢？進而使得n1+n2+n3的和仍然滿足除以3餘2呢？

這裡涉及到一個基本的數學定理，如果有a%b=c,則有(a+kb)%b=c(k為非零整數)，通俗地講，如果一個除法運算的餘數為c，那麼被除數與k倍的除數相加（或相減）的和（差）再與除數相除，餘數不變。

根據這個定理，如果n2是3的倍數，n1+n2就依然滿足除以3餘2。同理，如果n3也是3的倍數，那麼n1+n2+n3的和就滿足除以3餘2。這是從n1的角度考慮的，再從n2，n3的角度分析，我們可推匯出以下三點：

1. 為使n1+n2+n3的和滿足除以3餘2，n2和n3必須是3的倍數。

2. 為使n1+n2+n3的和滿足除以5餘3，n1和n3必須是5的倍數。

3. 為使n1+n2+n3的和滿足除以7餘2，n1和n2必須是7的倍數。

因此，為使n1+n2+n3的和作為“孫子問題”的一個最終解，需滿足：

1. n1除以3餘2，且是5和7的公倍數。

2. n2除以5餘3，且是3和7的公倍數。

3. n3除以7餘2，且是3和5的公倍數。

所以，孫子問題解法的本質是從5和7的公倍數中找一個除以3餘2的數n1，從3和7的公倍數中找一個除以5餘3的數n2，從3和5的公倍數中找一個除以7 餘2的數n3，再將三個數相加得到解。（在求n1，n2，n3時有一個小技巧，以n1為例，並非從5和7的公倍數中直接找一個除以3餘2的數，而是先找一個除以3餘1的數，再乘以2。）

這裡又有一個數學公式，如果a%b=c，那麼（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,也就是說，如果一個除法的餘數為c，那麼被除數的k倍與除數相除的餘數為kc。如展開式中的證明。

最後，我們還要注意，n1+n2+n3隻是問題的一個解，並不是最小的解。如何得到最小解？我們只需要從中最大限度的減掉掉3，5，7的公倍數105 即可。道理就是前面講過的定理“如果a%b=c,則有(a-kb)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最終的最小解。

以上只是對求孫子問題的簡單分析過程，那麼如果給出的不僅僅是三組呢？而是10組，20組或者更多呢？下面我們就中國剩餘定理進行深入分析，探尋一種解法。

設有n組資料，每組資料的除數為P[i]，餘數為R[i]（1<=i<=n），根據上面對孫子問題的分析，我們知道，首先我們要在P[2],P[3],……,P[n]的公倍數中找到一個除以P[1]餘R[1]的數num[1],在P[1],P[3],……,P[n]的公倍數中找到一個除以P[2]餘R[2]的數num[2],……，在P[1],P[2],……,P[n-1]的公倍數中找到一個除以P[n]餘R[n]的數num[n],然後將num[1],num[2],num[3],……，num[n]累加求和sum，最後用sum對P[1],P[2],……,P[n]的最小公倍數求餘，得到的數即是合格最小整數。

注意：孫子問題分析時是求出所有數的和在取餘，當組數少時，這是沒問題的，但是當組數太多時和必然也多，這裡我們可以利用公式(a+b)%c=(a%c+b%c)%c就可將程式最佳化

程式演算法的解法代碼：

代碼如下：

可運行代碼：C/C++代碼

#include<stdio.h>#include <iostream>using namespace std;//擴充歐幾裡得演算法int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){    int d;    if(b==0)    {        x=1;y=0;        return a;    }    d=exgcd(b,a%b,y,x);    y-=a/b*x;    return d;} //中國剩餘定理 ,r[]存放餘數 ,prime[]存放兩兩互質的數int Chinese_Remainder(int r[],int prime[],int len){    int i,d,x,y,m,n=1,sum=0;    //計算所以除數的積n，也是所以除數的最小公倍數    for(i=0;i<len;i++)        n*=prime[i];    //計算符合所以條件的數    for(i=0;i<len;i++)    {        m=n/prime[i];//計算除去本身的所以除數的積m        d=exgcd(prime[i],m,x,y);//計算w[i]*x+m*y=gcd(w[i],m)的一個解y        //累加整數解y的同並不斷對n取餘，其利用公式:(a+b)%c=(a%c+b%c)%c        sum=(sum+y*m*r[i])%n;    }    return (n+sum%n)%n;//滿足所以方程的最小解}int main(){    int n,i;    int prime[15],r[15];    while (printf("請輸入組數n：\n"),scanf("%d",&n)!=EOF)    {        printf("請依次輸入每組的除數和餘數：\n");        for (i=0;i<n;i++)        {            scanf("%d%d",&prime[i],&r[i]);        }        //printf("%d\n",Chinese_Remainder(b,w,n));        printf("合格最小整數：%d\n\n",Chinese_Remainder(r,prime,n));    }    return 0;}

核心代碼：

int Chinese_Remainder(int r[],int prime[],int len){    int i,d,x,y,m,n=1,sum=0;    for(i=0;i<len;i++)        n*=prime[i];    for(i=0;i<len;i++)    {        m=n/prime[i];        d=exgcd(prime[i],m,x,y);        sum=(sum+y*m*r[i])%n;    }    return (n+sum%n)%n;}