★經典問題—元素選擇問題

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元素選擇問題   : 給定線性序集中n個元素和一個整數k(1<=k<=n)，要求找出這n個元素中第k小的元素(第n-k大)。這一問題可以演化成找最大最小值、找中位元等。

 

最簡單思想：如果是直接找最大最小值，則可以通過N次比較來完成，其時間複雜度為O(N)，空間複雜度為O(1)。除此之外，對於一般的k值，可以考慮對序列N先進行排序，然後直接定位第k個位置上的數即可。時間複雜度最好為O(N*logN)。

 

改進思想：

(1) 在某些特殊情況下，是很容易設計出O(N)的演算法。比如最大最小值的時候。

      如果k<=n/logn 找第k小的元素。我們可以通過堆排序的方法。 首先建立小頂堆，其時間複雜度為O(N)。然後每次輸出堆頂元素(當前堆的最小值)後調整堆頂，其時間複雜度為O(logN)。迴圈k次，當第k次輸出堆頂時結束。這樣的時間複雜度為O(N+k*logN),  而k<=n/logn，即k接近於常數，則時間複雜度近似為O(N)。

      如果k>=n-n/logn 找第k小的元素。同理可以建立一個(n-k)次輸出的大頂堆即可。

      當k的大小靠近n的兩側時，比如n=10，k=2或8。我們可以同歸堆排序來達到近似O(N)的時間複雜度。

 

(2) 但一般的k值，特別是中位元的選擇問題似乎就比上一種情況要難了。但事實上，我們仍然可以在O(n)的時間內解決。

      可以考慮快排的分治演算法，對N序列進行一次Partition。與快排不同的是，每次只對劃分後的一個子數組進行處理。其演算法代碼如下：

Cpp代碼  

1. //在a數組中選擇第k小的數  
2. Type select(Type a[], int low, int high, int k){  
3.        //找到的第k小的數  
4.        if(low==high) return a[low];  
5.        //一次選擇劃分，此時a[low..mid-1]<a[mid]<a[mid+1..high]  
6.        int mid=partition(a,low, high);  
7.        int midSize=mid-low+1;  
8.        if(k<=midSize) return select(a, low, mid, k);  
9.        else return select(a, mid+1, high, k-midSize);  
10. }  

       從代碼中很容易看出，在最壞情況下，這種演算法和快排有著一樣的蛻化現象，需要O(N^2)時間複雜度。但是在一般情況下，平均效能上可以保證近似O(N)的時間複雜度。 如果想要克服最壞情況，其基準(快排中的樞軸)的選擇可以進行最佳化。使得基準所劃分出來的兩個子數組的長度至少為原數組長度的x倍(0<x<1)。具體最佳化策略可以參見《【JDK最佳化策略】java.util.Arrays的排序研究 》中的快排最佳化。