常用演算法設計方法(一) — 迭代法

 迭代法是用於求方程或方程組近似根的一種常用的演算法設計方法。設方程為f(x)=0，用某種數學方法匯出等價的形式x=g(x)，然後按以下步驟執行：
（1）   選一個方程的近似根，賦給變數x0；
（2）   將x0的值儲存於變數x1，然後計算g(x1)，並將結果存於變數x0；
（3）   當x0與x1的差的絕對值還小於指定的精度要求時，重複步驟（2）的計算。
若方程有根，並且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認為是方程的根。上述演算法用C程式的形式表示為：
【演算法】迭代法求方程的根
{    x0=初始近似根；
   do {
      x1=x0；
      x0=g(x1)；   /*按特定的方程計算新的近似根*/
      } while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；
   printf(“方程的近似根是%f/n”，x0)；
}
迭代演算法也常用於求方程組的根，令
      X=（x0，x1，…，xn-1）
設方程組為：
      xi=gi(X)      (I=0，1，…，n-1)
則求方程組根的迭代演算法可描述如下：
【演算法】迭代法求方程組的根
   {    for (i=0;i<n;i++)
         x =初始近似根;
      do {
         for (i=0;i<n;i++)
            y=x;
         for (i=0;i<n;i++)
            x=gi(X);
         for (delta=0.0,i=0;i<n;i++)
            if (fabs(y-x)>delta)      delta=fabs(y-x)；
         } while (delta>Epsilon)；
      for (i=0;i<n;i++)
         printf(“變數x[%d]的近似根是 %f”，I，x)；
      printf(“/n”)；
   }
   具體使用迭代法求根時應注意以下兩種可能發生的情況：
（1）   如果方程無解，演算法求出的近似根序列就不會收斂，迭代過程會變成死迴圈，因此在使用迭代演算法前應先考察方程是否有解，並在程式中對迭代的次數給予限制；
（2）   方程雖然有解，但迭代公式選擇不當，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會導致迭代失敗。