常用演算法設計方法(四) — 遞迴

遞迴是設計和描述演算法的一種有力的工具，由於它在複雜演算法的描述中被經常採用，為此在進一步介紹其他演算法設計方法之前先討論它。
   能採用遞迴描述的演算法通常有這樣的特徵：為求解規模為N的問題，設法將它分解成規模較小的問題，然後從這些小問題的解方便地構造出大問題的解，並且這些規模較小的問題也能採用同樣的分解和綜合方法，分解成規模更小的問題，並從這些更小問題的解構造出規模較大問題的解。特別地，當規模N=1時，能直接得解。
【問題】   編寫計算斐波那契（Fibonacci）數列的第n項函數fib（n）。
   斐波那契數列為：0、1、1、2、3、……，即：
      fib(0)=0;
      fib(1)=1;
      fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)      （當n>1時）。
寫成遞迴函式有：
int fib(int n)
{   if (n==0)      return  0;
   if (n==1)      return  1;
   if (n>1)      return  fib(n-1)+fib(n-2);
}
   遞迴演算法的執行過程分遞推和迴歸兩個階段。在遞推階段，把較複雜的問題（規模為n）的求解推到比原問題簡單一些的問題（規模小於n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，為計算fib(n)，必須先計算fib(n-1)和fib(n-2)，而計算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞迴的情況。例如在函數fib中，當n為1和0的情況。
   在迴歸階段，當獲得最簡單情況的解後，逐級返回，依次得到稍複雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)後，返回得到fib(2)的結果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結果後，返回得到fib(n)的結果。
   在編寫遞迴函式時要注意，函數中的局部變數和參數知識局限於當前調用層，當遞推進入“簡單問題”層時，原來層次上的參數和局部變數便被隱蔽起來。在一系列“簡單問題”層，它們各有自己的參數和局部變數。
   由於遞迴引起一系列的函數調用，並且可能會有一系列的重複計算，遞迴演算法的執行效率相對較低。當某個遞迴演算法能較方便地轉換成遞推演算法時，通常按遞推演算法編寫程式。例如上例計算斐波那契數列的第n項的函數fib(n)應採用遞推演算法，即從斐波那契數列的前兩項出發，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項。
【問題】   組合問題
問題描述：找出從自然數1、2、……、n中任取r個數的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為：   （1）5、4、3      （2）5、4、2      （3）5、4、1
         （4）5、3、2      （5）5、3、1      （6）5、2、1
         （7）4、3、2      （8）4、3、1      （9）4、2、1
         （10）3、2、1
   分析所列的10個組合，可以採用這樣的遞迴思想來考慮求組合函數的演算法。設函數為void  comb(int m,int k)為找出從自然數1、2、……、m中任取k個數的所有組合。當組合的第一個數字選定時，其後的數字是從餘下的m-1個數中取k-1數的組合。這就將求m個數中取k個數的組合問題轉化成求m-1個數中取k-1個數的組合問題。設函數引入工作數組a[ ]存放求出的組合的數字，約定函數將確定的k個數字組合的第一個數字放在a[k]中，當一個組合求出後，才將a[ ]中的一個組合輸出。第一個數可以是m、m-1、……、k，函數將確定組合的第一個數字放入數組後，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其餘元素，繼續遞迴去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細節見以下程式中的函數comb。
【程式】
# include   <stdio.h>
# define   MAXN   100
int   a[MAXN];
void   comb(int m,int k)
{   int i,j;
   for (i=m;i>=k;i--)
   {   a[k]=i;
      if (k>1)
         comb(i-1,k-1);
      else
      {   for (j=a[0];j>0;j--)
            printf(“%4d”,a[j]);
         printf(“/n”);
      }
   }
}

void main()
{   a[0]=3;
   comb(5,3);
}
【問題】   背包問題
問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。
設n件物品的重量分別為w0、w1、…、wn-1，物品的價值分別為v0、v1、…、vn-1。採用遞迴尋找物品的選擇方案。設前面已有了多種選擇的方案，並保留了其中總價值最大的方案於數組option[ ]，該方案的總價值存於變數maxv。當前正在考察新方案，其物品選擇情況儲存於數組cop[ ]。假定當前方案已考慮了前i-1件物品，現在要考慮第i件物品；當前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其餘物品都選擇是可能的話，本方案能達到的總價值的期望值為tv。演算法引入tv是當一旦當前方案的總價值的期望值也小於前面方案的總價值maxv時，繼續考察當前方案變成無意義的工作，應終止當前方案，立即去考察下一個方案。因為當方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數後找到的方案一定會比前面的方案更好。
對於第i件物品的選擇考慮有兩種可能：
（1）   考慮物品i被選擇，這種可能性僅當包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中後，繼續遞迴去考慮其餘物品的選擇。
（2）   考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。
按以上思想寫出遞迴演算法如下：
try(物品i，當前選擇已達到的重量和，本方案可能達到的總價值tv)
{   /*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/
   if(包含物品i是可以接受的)
   {   將物品i包含在當前方案中；
      if (i<n-1)
         try(i+1,tw+物品i的重量,tv);
      else
         /*又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/
以當前方案作為臨時最佳方案儲存;
         恢複物品i不包含狀態；
      }
      /*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/
      if (不包含物品i僅是可男考慮的)
         if (i<n-1)
            try(i+1,tw,tv-物品i的價值)；
         else
            /*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/
以當前方案作為臨時最佳方案儲存;
   }
   為了理解上述演算法，特舉以下執行個體。設有4件物品，它們的重量和價值見表：
物品   0   1   2   3
重量   5   3   2   1
價值   4   4   3   1

並設限制重量為7。則按以上演算法，表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，演算法就進一步找更好的佳。如能判定某個尋找分支不會找到更好的解，演算法不會在該分支繼續尋找，而是立即終止該分支，並去考察下一個分支。

按上述演算法編寫函數和程式如下：
【程式】
# include   <stdio.h>
# define   N   100
double   limitW,totV,maxV;
int   option[N],cop[N];
struct   {   double   weight;
         double   value;
      }a[N];
int   n;
void find(int i,double tw,double tv)
{   int k;
   /*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/
   if (tw+a.weight<=limitW)
   {   cop=1;
      if (i<n-1)   find(i+1,tw+a.weight,tv);
      else
      {   for (k=0;k<n;k++)
            option[k]=cop[k];
         maxv=tv;
      }
      cop=0;
}
   /*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/
   if (tv-a.value>maxV)
      if (i<n-1)   find(i+1,tw,tv-a.value);
      else
      {   for (k=0;k<n;k++)
            option[k]=cop[k];
         maxv=tv-a.value;
      }
}

void main()
{   int k;
   double w,v;
   printf(“輸入物品種數/n”);
   scanf((“%d”,&n);
   printf(“輸入各物品的重量和價值/n”);
   for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)
   {   scanf(“%1f%1f”,&w,&v);
      a[k].weight=w;
      a[k].value=v;
      totV+=V;
   }
   printf(“輸入限制重量/n”);
   scanf(“%1f”,&limitV);
   maxv=0.0;
   for (k=0;k<n;k++)   cop[k]=0;
   find(0,0.0,totV);
   for (k=0;k<n;k++)
      if (option[k])   printf(“%4d”,k+1);
   printf(“/n總價值為%.2f/n”,maxv);
}
   作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞迴的程式解。為了提高找解速度，程式不是簡單地逐一產生所有候選解，而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進一步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應該繼續考慮的；反之，該物品不應該包括在當前正在形成的候選解中。同樣地，僅當物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當前候選解中的方案也不應繼續考慮。對於任一值得繼續考慮的方案，程式就去進一步考慮下一個物品。
【程式】
# include   <stdio.h>
# define   N   100
double   limitW;
int   cop[N];
struct   ele   {   double   weight;
            double   value;
         } a[N];
int   k,n;
struct   {   int       flg;
         double   tw;
         double   tv;
      }twv[N];
void next(int i,double tw,double tv)
{   twv.flg=1;
   twv.tw=tw;
   twv.tv=tv;
}
double find(struct ele *a,int n)
{   int i,k,f;
   double maxv,tw,tv,totv;
   maxv=0;
   for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)
      totv+=a[k].value;
   next(0,0.0,totv);
   i=0;
   While (i>=0)
   {   f=twv.flg;
      tw=twv.tw;
      tv=twv.tv;
      switch(f)
      {   case 1:   twv.flg++;
               if (tw+a.weight<=limitW)
                  if (i<n-1)
                  {   next(i+1,tw+a.weight,tv);
                     i++;
                  }
                  else
                  {   maxv=tv;
                     for (k=0;k<n;k++)
                        cop[k]=twv[k].flg!=0;
                  }
               break;
         case 0:   i--;
               break;
         default:   twv.flg=0;
               if (tv-a.value>maxv)
                  if (i<n-1)
                  {   next(i+1,tw,tv-a.value);
                     i++;
                  }
                  else
                  {   maxv=tv-a.value;
                     for (k=0;k<n;k++)
                        cop[k]=twv[k].flg!=0;
                  }
               break;
      }
   }
   return maxv;
}

void main()
{   double maxv;
   printf(“輸入物品種數/n”);
   scanf((“%d”,&n);
   printf(“輸入限制重量/n”);
   scanf(“%1f”,&limitW);
printf(“輸入各物品的重量和價值/n”);
   for (k=0;k<n;k++)
      scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value);
   maxv=find(a,n);
   printf(“/n選中的物品為/n”);
for (k=0;k<n;k++)
      if (option[k])   printf(“%4d”,k+1);
   printf(“/n總價值為%.2f/n”,maxv);
}