常用演算法-窮舉法

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窮舉法又稱為枚舉法，它是在電腦演算法設計中用得最多的一種編程思想。它的實現方式是：在已知答案範圍的情況下，依次地枚舉該範圍內所有的取值，並對每個取值進行考查，確定是否滿足條件。經過迴圈遍曆之後，篩選出符合要求的結果來。這種方法充分利用了電腦運算速度快的特點，思路簡單直接，能夠解決大部分的問題。

什麼樣的問題適合使用窮舉法來解決呢？歸納起來，遇到了如下的三種情況，將優先考慮使用窮舉法：

1. 答案的範圍已知：

雖然事先並不知道確切的結果，但能預計到結果會落在哪個取值範圍內。譬如說：

①求1－100之間所有的素數： 無論結果如何，都在1－100的範圍之內。

②求2000－2015年間有幾個月的13號是周日？這15年間共有180個月，月份的個數最多不會超過180

③驗證1000以內的哥德巴哈猜想：即找出1000之內所有的合數，看是否能夠分解為兩個質數之和

。。。。。。

如果仔細觀察，將會發現許多題目的結果範圍都是已知的，都可以使用窮舉法來實現。

2. 答案的結果是離散的，不是連續的。如果要求出1－2之間所有的小數，就無法用窮舉法來實現，因為其結果是無限連續的。

3. 對時間上的要求不嚴格。藍橋杯比賽中的許多題目對於演算法的設計是有時間要求的，有時會非常苛刻。如果用窮舉法則耗時過長，不可取。例如求出21位的水仙花數，使用窮舉法可能會花費30分鐘的時間。而藍橋杯試題通常要求時間限制在1秒鐘之內完成，少數會延長至3分鐘。在這種情況下，必須使用新的演算法來解決問題。

下面舉個經典的例子：

100塊磚100人來搬，男人一人搬4塊，女人一人搬3塊，小孩3人抬一塊，問男，女，小孩各幾人？

若設男，女，小孩人數分別為X， Y， Z，則只能夠列出兩個等式： X+Y+Z＝100  4*X+3*Y+Z/3＝100 。三個未知數兩個等式，無法求解。這就只能夠使用窮舉法來實現，具體做法如下：

先確定每種類型人員的數量的取值範圍，由題意可知，男人X的取值範圍是0~100/4＝25 女人Y的取值範圍是0~100/3＝33 小孩的取值範圍是0~99（必須不大於100且為3的倍數）。使用窮舉法遍曆所有可能的取值結果，逐一判斷篩選出正確的結果。編程如下：

for(int x=0; x<=25; x++)

for(int y=0; y<=33; y++)

  for(int z=0; z<=99; z+=3)

    if((x+y+z==100)&&(4*x+3*y+z/3==100)) 

{輸出找到的結果}

如果仔細分析一下，就會發現由於x+y+z==100，那麼只需要考慮x和y的遍曆取值；z值可以通過100－x - y來實現。當然，z值是3的倍數，上述代碼可修改如下：

for(int x=0; x<=25; x++)

for(int y=0; y<=33; y++)

  {    

int z = 100 - x - y;

if((z%3==0)&&(4*x+3*y+z/3==100)) 

{輸出找到的結果}

}

 

從這道題的解決過程中，我們可以發現使用窮舉法的一般過程：

確定需要哪幾個變數，此題需要3個變數x，y， z  如果是其它的題目，所需變數的個數與類型有可能不盡相同，這個要由具體情況而定。

確定每個變數的取值範圍，如上例之中X的範圍是0~25， y的取值範圍是0~33， z的取值範圍是0~33

設定多層的嵌套迴圈，通常為for迴圈，最內層之中設定條件判斷，滿足輸出條件時，輸出相關的提示資訊。

再來一道可以使用窮舉法解決的問題：

有一群海盜（不多於20人），在船上比拼酒量。過程如下：開啟一瓶酒，所有在場的人平分喝下，有幾個人倒下了。再開啟一瓶酒平分，又有倒下的，再次重複...... 直到開了第4瓶酒，坐著的已經所剩無幾，海盜船長也在其中。當第4瓶酒平分喝下後，大家都倒下了。 等船長醒來，發現海盜船擱淺了。他在航海日誌中寫到：“......昨天，我正好喝了一瓶.......奉勸大家，開船不喝酒，喝酒別開船......”

 請你根據這些資訊，推斷開始有多少人，每一輪喝下來還剩多少人。 如果有多個可能的答案，請列出所有答案，每個答案佔一行。格式是：人數,人數,...

 例如,有一種可能是：20,5,4,2,0

藍橋杯中的許多題目都會提供一個答案的樣本，通過分析這個樣本可以加深對當前這道題的理解。以本題為例，通過研究樣本答案可以看出如下的特點：

（1）答案只可能有4個數，分別代表每輪參與的人數，最後的0是固定的。

（2）每輪的人數是不斷減少的，下一輪只能夠比上一輪人數更少。

（3）每輪人數被1除之後，累加和是1（剛好一瓶酒）

即 1/20+1/5+1/4+1/2=1

根據上述的分析，可以確定如下的變數s1, s2, s3, s4分別代表每輪的人數。

這四個變數的取值範圍分別是 1≤s1≤20   1≤s2≤s1   1≤s3≤s2       1≤s4≤s3  據此來設定4層的嵌套迴圈,並加上最內層的條件判斷如下：

for(int s1=1; s1<=20; s1++)

for(int s1=1; s1<=20; s1++)

for(int s1=1; s1<=20; s1++)

for(int s1=1; s1<=20; s1++)

if(1/s1+1/s2+1/s3+1/s4==1){輸出結果} 

理論上來看是正確的，但實際運行時，由於/運算子在左右兩邊均為整數時，表示整除而不是除法，所以上述的條件判斷需要改寫為更複雜的形式：

(s1*s2*s3+s1*s3*s4+s1*s3*s4+s2*s3*s4)/(s1*s2*s3*s4)==1

 

  根據筆者指導藍橋杯的經驗，至少有三分之一的問題都可以通過窮舉的方法來實現，因此，把窮舉法練習使用好，意義非常重大。

 

作業：

 （1） 換分幣： 將5元的人民幣兌換成1元，5角和1角的硬幣，共有多少種不同的兌換方法？

   (2） 找完數： 求1~100內完數的個數。 如果一個數等於它的因子之和，則稱該數為完數（或“完全數”）。例如，6的因子為1，2， 3 而6＝1+2+3 ， 因此6是完數

（3）找自守數：自守數是指一個數的平方的尾數等於該數自身的自然數。例如：5*5=25; 25*25=625; 76*76=5776; 9376*9376=87909376, 求100000以內的自守數。

 

連結:49516935

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