常用演算法 — 遞迴法

 

遞迴是設計和描述演算法的一種有力的工具，由於它在複雜演算法的描述中被經常採用，為此在進一步介紹其他演算法設計方法之前先討論它。 

   能採用遞迴描述的演算法通常有這樣的特徵：為求解規模為N的問題，設法將它分解成規模較小的問題，然後從這些小問題的解方便地構造出大問題的解，並且這些規模較小的問題也能採用同樣的分解和綜合方法，分解成規模更小的問題，並從這些更小問題的解構造出規模較大問題的解。特別地，當規模N=1時，能直接得解。 

【問題】    編寫計算斐波那契（Fibonacci）數列的第n項函

數fib（n）。 

   斐波那契數列為：0、1、1、2、3、……，即： 

     fib(0)=0; 

     fib(1)=1; 

     fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)      （當n>1時）。 

寫成遞迴函式有： 

int fib(int n) 

{    if (n==0)      return 0; 

   if (n==1)      return 1; 

   if (n>1)      return fib(n-1)+fib(n-2); 

} 

   遞迴演算法的執行過程分遞推和迴歸兩個階段。在遞推階段，把較複雜的問題（規模為n）的求解推到比原問題簡單一些的問題（規模小於n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說，為計算fib(n)，必須先計算fib(n-1)和fib(n-2)，而計算fib(n-1)和fib(n-2)，又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推，直至計算fib(1)和fib(0)，分別能立即得到結果1和0。在遞推階段，必須要有終止遞迴的情況。例如在函數fib中，當n為1和0的情況。 

   在迴歸階段，當獲得最簡單情況的解後，逐級返回，依次得到稍複雜問題的解，例如得到fib(1)和fib(0)後，返回得到fib(2)的結果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結果後，返回得到fib(n)的結果。 

   在編寫遞迴函式時要注意，函數中的局部變數和參數知識局限於當前調用層，當遞推進入“簡單問題”層時，原來層次上的參數和局部變數便被隱蔽起來。在一系列“簡單問題”層，它們各有自己的參數和局部變數。 

   由於遞迴引起一系列的函數調用，並且可能會有一系列的重複計算，遞迴演算法的執行效率相對較低。當某個遞迴演算法能較方便地轉換成遞推演算法時，通常按遞推演算法編寫程式。例如上例計算斐波那契數列的第n項的函數fib(n)應採用遞推演算法，即從斐波那契數列的前兩項出發，逐次由前兩項計算出下一項，直至計算出要求的第n項。 

【問題】    組合問題 

問題描述：找出從自然數1、2、……、n中任取r個數的所有組合。例如n=5，r=3的所有組合為：    （1）5、4、3      （2）5、4、2      （3）5、4、1 

       （4）5、3、2      （5）5、3、1      （6）5、2、1 

       （7）4、3、2      （8）4、3、1      （9）4、2、1 

       （10）3、2、1 

   分析所列的10個組合，可以採用這樣的遞迴思想來考慮求組合函數的演算法。設函數為void comb(int m,int k)為找出從自然數1、2、……、m中任取k個數的所有組合。當組合的第一個數字選定時，其後的數字是從餘下的m-1個數中取k-1數的組合。這就將求m 個數中取k個數的組合問題轉化成求m-1個數中取k-1個數的組合問題。設函數引入工作數組a[ ]存放求出的組合的數字，約定函數將確定的k個數字組合的第一個數字放在a[k]中，當一個組合求出後，才將a[ ]中的一個組合輸出。第一個數可以是m、m-1、……、k，函數將確定組合的第一個數字放入數組後，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其餘元素，繼續遞迴去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個組合。細節見以下程式中的函數comb。 

【程式】 

# include    <stdio.h> 

# define    MAXN    100 

int    a[MAXN]; 

void    comb(int m,int k) 

{    int i,j; 

   for (i=m;i>=k;i--) 

   {    a[k]=i; 

     if (k>1) 

       comb(i-1,k-1); 

     else 

     {    for (j=a[0];j>0;j--) 

         printf(“%4d”,a[j]); 

       printf(“/n”); 

     } 

   } 

} 

 

void main() 

{    a[0]=3; 

   comb(5,3); 

} 

【問題】    背包問題 

問題描述：有不同價值、不同重量的物品n件，求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價值之和最大。 

設n件物品的重量分別為w0、w1、…、wn-1，物品的價值分別為v0、v1、…、vn-1。採用遞迴尋找物品的選擇方案。設前面已有了多種選擇的方案，並保留了其中總價值最大的方案於數組option[ ]，該方案的總價值存於變數maxv。當前正在考察新方案，其物品選擇情況儲存於數組cop[ ]。假定當前方案已考慮了前i-1件物品，現在要考慮第i件物品；當前方案已包含的物品的重量之和為tw；至此，若其餘物品都選擇是可能的話，本方案能達到的總價值的期望值為tv。演算法引入tv是當一旦當前方案的總價值的期望值也小於前面方案的總價值maxv時，繼續考察當前方案變成無意義的工作，應終止當前方案，立即去考察下一個方案。因為當方案的總價值不比maxv大時，該方案不會被再考察，這同時保證函數後找到的方案一定會比前面的方案更好。 

對於第i件物品的選擇考慮有兩種可能： 

（1）    考慮物品i被選擇，這種可能性僅當包含它不會超過方案總重量限制時才是可行的。選中後，繼續遞迴去考慮其餘物品的選擇。 

（2）    考慮物品i不被選擇，這種可能性僅當不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。 

按以上思想寫出遞迴演算法如下： 

try(物品i，當前選擇已達到的重量和，本方案可能達到的總價值tv) 

{    /*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/ 

   if(包含物品i是可以接受的) 

   {    將物品i包含在當前方案中； 

     if (i<n-1) 

       try(i+1,tw+物品i的重量,tv); 

     else 

       /*又一個完整方案，因為它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/ 

以當前方案作為臨時最佳方案儲存; 

       恢複物品i不包含狀態； 

     } 

     /*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/ 

     if (不包含物品i僅是可男考慮的) 

       if (i<n-1) 

         try(i+1,tw,tv-物品i的價值)； 

       else 

         /*又一個完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/ 

以當前方案作為臨時最佳方案儲存; 

   } 

   為了理解上述演算法，特舉以下執行個體。設有4件物品，它們的重量和價值見表： 

物品    0    1    2    3 

重量    5    3    2    1 

價值    4    4    3    1 

 

並設限制重量為7。則按以上演算法，表示找解過程。由圖知，一旦找到一個解，演算法就進一步找更好的佳。如能判定某個尋找分支不會找到更好的解，演算法不會在該分支繼續尋找，而是立即終止該分支，並去考察下一個分支。 

 

按上述演算法編寫函數和程式如下： 

【程式】 

# include    <stdio.h> 

# define    N    100 

float    limitW,maxV;

float totV=0; 

int    option[N],cop[N]; 

struct    {    

 float    weight; 

 float    value; 

}a[N]; 

int    n; 

void find(int i,float tw,float tv) 

{    

 int k; 

/*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/ 

 if (tw+a[i].weight<=limitW) 

 {    

  cop[i]=1;  

  if (i<n-1)    find(i+1,tw+a[i].weight,tv); 

  else  

  {    

   for (k=0;k<n;k++)  

    option[k]=cop[k];  

   maxV=tv;  

  }  

  cop[i]=0; 

 } 

/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/ 

 if (tv-a[i].value>maxV) 

  if (i<n-1)    find(i+1,tw,tv-a[i].value); 

  else 

  {   

   for (k=0;k<n;k++) 

    option[k]=cop[k];  

   maxV=tv-a[i].value; 

  } 

}

 

void main() 

{   

  int k; 

  float w,v; 

  printf("輸入物品種數/n"); 

  scanf("%d",&n); 

  printf("輸入各物品的重量和價值/n"); 

for (totV=0.0,k=0;k<n;k++) 

{    

 scanf("%1f%1f",&w,&v); 

 a[k].weight=w; 

 a[k].value=v; 

 totV+=v; 

}

 

printf("輸入限制重量/n"); 

scanf("%1f",&limitW); 

maxV=0.0; 

for (k=0;k<n;k++)    cop[k]=0; 

find(0,0.0,totV); 

for (k=0;k<n;k++) 

if (option[k])    printf("%4d",k+1); 

printf("/n總價值為%.2f/n",maxV); 

}

 

   作為對比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞迴的程式解。為了提高找解速度，程式不是簡單地逐一產生所有候選解，而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進一步考慮的候選解，一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況：當該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應該繼續考慮的；反之，該物品不應該包括在當前正在形成的候選解中。同樣地，僅當物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當前候選解中的方案也不應繼續考慮。對於任一值得繼續考慮的方案，程式就去進一步考慮下一個物品。 

【程式】 

# include    <stdio.h> 

# define    N    100 

float    limitW; 

int    cop[N]; 

struct    ele    {    

 float    weight;          

 float    value; 

} a[N]; 

int    k,n; 

struct    {    int      flg; 

       float    tw; 

       float    tv; 

     }twv[N]; 

void next(int i,float tw,float tv) 

{    

 twv[i].flg=1;   

 twv[i].tw=tw;   

 twv[i].tv=tv; 

} 

float find(struct ele *a,int n) 

{    int i,k,f; 

   float maxv,tw,tv,totv; 

   maxv=0; 

   for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) 

     totv+=a[k].value; 

   next(0,0.0,totv); 

   i=0; 

   while (i>=0) 

   {    

    f=twv[i].flg;     

    tw=twv[i].tw; 

    tv=twv[i].tv; 

 

    switch(f)  

    {      

    case 1:    twv[i].flg++; 

           if (tw+a[i].weight<=limitW) 

             if (i<n-1) 

             {    next(i+1,tw+a[i].weight,tv); 

               i++; 

             } 

             else 

             {    maxv=tv; 

               for (k=0;k<n;k++) 

                 cop[k]=twv[k].flg!=0; 

             } 

           break; 

       case 0:    i--; 

           break; 

       default:    twv[i].flg=0; 

           if (tv-a[i].value>maxv) 

             if (i<n-1) 

             {    

     next(i+1,tw,tv-a[i].value); 

     i++; 

             } 

             else 

             {    maxv=tv-a[i].value; 

               for (k=0;k<n;k++) 

                 cop[k]=twv[k].flg!=0; 

             } 

           break; 

     } 

   } 

   return maxv; 

}

 

void main() 

{    float maxv; 

   printf("輸入物品種數/n"); 

   scanf("%d",&n); 

   printf("輸入限制重量/n"); 

   scanf("%1f",&limitW); 

printf("輸入各物品的重量和價值/n"); 

   for (k=0;k<n;k++) 

     scanf("%1f%1f",&a[k].weight,&a[k].value); 

   maxv=find(a,n); 

   printf("/n選中的物品為/n"); 

//for (k=0;k<n;k++) 

//     if (option[k])    printf("%4d",k+1); 

   printf("/n總價值為%.2f/n",maxv); 

}