分治法的複雜性分析

分治法的複雜性分析

從分治法的一般設計模式可以看出，用它設計出的程式一般是一個遞迴過程。因此，分治法的計算效率通常可以用遞迴方程來進行分析。為方便起見，設分解閾值n0=1，且演算法ADHOC解規模為1的問題耗費1個單位時間。又設分治法將規模為n的問題分成k個規模為n/m的子問題去解，而且，將原問題分解為k個子問題以及用演算法MERGE將k個子問題的解合并為原問題的解需用f(n)個單位時間。如果用T(n)表示該分治法Divide-and-Conquer(P)解規模為|P|=n的問題P所需的計算時間，則有:

（1）

用演算法的複雜性中遞迴方程解的漸進階的解法介紹的解遞迴方程的迭代法，可以求得(1)的解:

（2）

注意，遞迴方程(1)及其解(2)只給出n等於m的方冪時T(n)的值，但是如果認為T(n)足夠平滑，那麼由等於m的方冪時T(n)的值可以估計T(n)的增長速度。通常，我們可以假定T(n)是單調上升的，從而當mi≤n<mi+1時，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。

另一個需要注意的問題是，在分析分治法的計算效率時，通常得到的是遞迴不等式：

(3)

由於我們關心的一般是最壞情況下的計算時間複雜度的上界，所以用等號(=)還是小於或等號(≤)是沒有本質區別的。