複雜度O(n)計算

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一、演算法的時間複雜度定義

    在進行演算法分析時，語句總的執行次數T(n)是關於問題規模n的函數，進而分析T(n)隨n的變化情況並確定T(n)的數量級。演算法的時間複雜度，也就是演算法的時間量度。記作：T(n)=O(f(n))。它表示隨問題n的增大，演算法執行時間的增長率和f(n)的增長率相同，稱作演算法的漸進時間複雜度，簡稱為時間複雜度。其中，f(n)是問題規模n的某個函數。

    這樣用大寫O()來體現演算法時間複雜度的記法，我們稱之為大0記法。

二、推導大O階方法

1、用常數1取代已耗用時間中的所有加法常數。

2、在修改後的運行次數函數中，只保留最高階項。

3、如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項目相乘的常數。得到的結果就是大O階。

三、推導樣本

1、常數階

     首先順序結構的時間複雜度。下面這個演算法，是利用高斯定理計算1，2，……n個數的和。

int sum = 0, n = 100; /*執行一次*/
sum = (1 + n) * n / 2; /*執行一次*/
printf("%d",sum); /*執行一次*/
     這個演算法的運行次數函數是f (n)  =3。 根據我們推導大0階的方法，第一步就是把常數項3 改為1。在保留最高階項時發現，它根本沒有最高階項，所以這個演算法的時間複雜度為0(1)。
     另外，我們試想一下，如果這個演算法當中的語句 sum = (1+n)*n/2; 有10 句，則與樣本給出的代碼就是3次和12次的差異。這種與問題的大小無關（n的多少），執行時間恒定的演算法，我們稱之為具有O(1)的時間複雜度，又叫常數階。對於分支結構而言，無論是真，還是假，執行的次數都是恒定的，不會隨著n 的變大而發生變化，所以單純的分支結構(不包含在迴圈結構中)，其時間複雜度也是0(1)。
2、線性階

    線性階的迴圈結構會複雜很多。要確定某個演算法的階次，我們常常需要確定某個特定語句或某個語句集啟動並執行次數。因此，我們要分析演算法的複雜度，關鍵就是要分析迴圈結構的運行情況。

    下面這段代碼，它的迴圈的時間複雜度為O(n)， 因為迴圈體中的代碼須要執行n次。

int i;
for(i = 0; i < n; i++){
/*時間複雜度為O(1)的程式步驟序列*/
}
3、對數階

    如下代碼：

int count = 1;
while (count < n){
count = count * 2;
  /*時間複雜度為O(1)的程式步驟序列*/
}
    由於每次count乘以2之後，就距離n更近了一分。 也就是說，有多少個2相乘後大於n，則會退出迴圈。 由2^x=n 得到x=logn。 所以這個迴圈的時間複雜度為O(logn)。
4、平方階

    下面例子是一個迴圈嵌套，它的內迴圈剛才我們已經分析過，時間複雜度為O(n)。

int i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = 0; j < n; j++){
/*時間複雜度為O(1)的程式步驟序列*/
}
}
    而對於外層的迴圈，不過是內部這個時間複雜度為O(n)的語句，再迴圈n次。 所以這段代碼的時間複雜度為O(n^2)。
    如果外迴圈的迴圈次數改為了m，時間複雜度就變為O(mXn)。

    所以我們可以總結得出，迴圈的時間複雜度等於迴圈體的複雜度乘以該迴圈啟動並執行次數。
    那麼下面這個迴圈嵌套，它的時間複雜度是多少呢?

int i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = i; j < n; j++){ /*注意j = i而不是0*/
/*時間複雜度為O(1)的程式步驟序列*/
}
}
    由於當i=0時，內迴圈執行了n次，當i = 1時，執行了n-1次，……當i=n-1時，執行了1次。所以總的執行次數為:

    用我們推導大O階的方法，第一條，沒有加法常數不予考慮；第二條，只保留最高階項，因此保留時(n^2)/2; 第三條，去除這個項相乘的常數，也就是去除1/2，最終這段代碼的時間複雜度為O(n2)。

    從這個例子，我們也可以得到一個經驗，其實理解大0推導不算難，難的是對數列的一些相關運算，這更多的是考察你的數學知識和能力。

5、立方階

    下面例子是一個三重迴圈嵌套。

int i, j;
for(i = 1; i < n; i++)
for(j = 1; j < n; j++)
for(j = 1; j < n; j++){
/*時間複雜度為O(1)的程式步驟序列*/

}
    這裡迴圈了(1^2+2^2+3^2+……+n^2) = n(n+1)(2n+1)/6次，按照上述大O階推導方法，時間複雜度為O(n^3)。
四、常見的時間複雜度

    常見的時問複雜度如表所示。

    常用的時間複雜度所耗費的時間從小到大依次是：

    我們前面已經談到了。O(1)常數階、O(logn)對數階、O(n)線性階、 O(n^2)平方階等，像O(n^3)，過大的n都會使得結果變得不現實。同樣指數階O(2^n)和階乘階O(n!)等除非是很小的n值，否則哪怕n 只是100，都是噩夢般的已耗用時間。所以這種不切實際的演算法時間複雜度，一般我們都不去討論。

五、最壞情況與平均情況

    我們尋找一個有n 個隨機數字數組中的某個數字，最好的情況是第一個數字就是，那麼演算法的時間複雜度為O(1)，但也有可能這個數字就在最後一個位置上待著，那麼演算法的時間複雜度就是O(n)，這是最壞的一種情況了。
    最壞情況已耗用時間是一種保證，那就是已耗用時間將不會再壞了。 在應用中，這是一種最重要的需求， 通常， 除非特別指定， 我們提到的已耗用時間都是最壞情況的已耗用時間。
    而平均已耗用時間也就是從機率的角度看， 這個數字在每一個位置的可能性是相同的，所以平均的尋找時間為n/2次後發現這個目標元素。平均已耗用時間是所有情況中最有意義的，因為它是期望的已耗用時間。也就是說，我們運行一段程式碼時，是希望看到平均已耗用時間的。可現實中，平均已耗用時間很難通過分析得到，一般都是通過運行一定數量的實驗資料後估算出來的。一般在沒有特殊說明的情況下，都是指最壞時間複雜度。

六、演算法空間複雜度

    我們在寫代碼時，完全可以用空間來換取時間，比如說，要判斷某某年是不是閏年，你可能會花一點心思寫了一個演算法，而且由於是一個演算法，也就意味著，每次給一個年份，都是要通過計算得到是否是閏年的結果。 還有另一個辦法就是，事先建立一個有2050個元素的數組(年數略比現實多一點)，然後把所有的年份按下標的數字對應，如果是閏年，此數組項的值就是1，如果不是值為0。這樣，所謂的判斷某一年是否是閏年，就變成了尋找這個數組的某一項的值是多少的問題。此時，我們的運算是最小化了，但是硬碟上或者記憶體中需要儲存這2050個0和1。這是通過一筆空間上的開銷來換取計算時間的小技巧。到底哪一個好，其實要看你用在什麼地方。
    演算法的空間複雜度通過計算演算法所需的儲存空間實現，演算法空間複雜度的計算公式記作:S(n)= O(f(n))，其中，n為問題的規模，f(n)為語句關於n所佔儲存空間的函數。
    一般情況下，一個程式在機器上執行時，除了需要儲存程式本身的指令、常數、變數和輸入資料外，還需要儲存對資料操作的儲存單元，若輸入資料所佔空間只取決於問題本身，和演算法無關，這樣只需要分析該演算法在實現時所需的輔助單元即可。若演算法執行時所需的輔助空間相對於輸入資料量而言是個常數，則稱此演算法為原地工作，空間複雜度為0(1)。
     通常， 我們都使用"時間複雜度"來指已耗用時間的需求，使用"空間複雜度"指空間需求。當不用限定詞地使用"複雜度‘時，通常都是指時間複雜度。

七、一些計算的規則

1、加法規則

     T(n,m) = T1(n) + T2(m) = O(max{f(n), g(m)})

2、乘法規則

     T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O(max{f(n)*g(m)})

3、一個經驗

     複雜度與時間效率的關係：
    c(常數) < logn < n < n*logn < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!
    l------------------------------l--------------------------l--------------l
                   較好                          一般                    較差

八、常用演算法的時間複雜度和空間複雜度

 

複雜度O(n)計算