電腦儲存-補碼

1。補碼的介紹(two's complement)

　　在電腦系統中，數值一律用補碼來表示（儲存）。 這樣做的最大好處就是可以將符號位和其它位統一處理；即減法也可按加法來處理。

2.補碼的計算

　　電腦在儲存有符號數的時候，會分配一個符號位（最高位）給他，因此負數的表示方式為：符號位+數值位。假設為8位機，如

　　　　-8       1      0001000  

　　             符號位   數值位

　　補碼的計算方式：1.正數的補碼不變

　　　　　　　　　　2.負數的符號位不變，數值位取反後加1

　　如-8的補碼

　　　　1  111 0111 ——>1 111 1000

3. 為什麼採用補碼

　　書上說這樣用可以簡化硬體的設計，加法與減法的計算方式一樣，其實這樣說是沒錯，可是這樣說卻不太好理解。為了說明問題，我打一個類比，6個人圍成一堆並且給每人一個編號0，1，2，3，4，5.現在讓他們依次報號，從0號開始，當1號第二次報號時，他會報1而不是7，那現在有個問題：1號後面第九個是幾號？如果你挨個數的話會發現剛好是4號，如果讓你用一個算式表示出來，你會怎麼算？（1+9）%6 = 4，這是不是老生常談的模數的問題了，當累計到最大數（5）的時候，會從該範圍內最小的數（0）重新開始。

　　依然是上一個例子，現在我換一個問題：當前位置是1號，那我怎麼才能得到4號？有兩種方法：1.向前報數，第3個人就是4號   2.向後報數，第3人就是4號。

　　設向前報數為加法，向後報數為減法，那為了得到4號，我列出下面的資料關係。

　　當前位置  向前+   向後-  目標位置    最大值  總數

　　   0　　　　4　      2       4　　　　　5　　 6

        1           3         3        4　　　　  5　　 6

　　  2           2         4        4　　　　  5　　 6　　

　　  3           1         5        4　　　　  5　　 6

　　  4           0         6        4　　　　  5　　 6

　　  5          -1         7        4　　　　  5　　 6

　　向前報號的個數與向後報號的個數之和始終為 6，即總人數。所以可以將數(0，6),(1,5),(2,4),...,(6,0)稱為互補數組。

　　由以上補數原理得出，當我們需要進行減法運算的時候，可以用加上它的補數來代替，即

　　　　2+2 = 4， 2-4 = 2 + （4的補數）= 2+2 = 4

　　明白了吧，電腦就是利用這樣的原理來實現加減法運算的，它直接將減法運算簡化成了加法運算。

　　結論：假設數列1，2，3，4，...,n。如果存在n+1 = 1, 1-1 = n這樣的關係，則（1，n),(2,n-1),...(n,1)分別是互補數對，其中任一對互補數之和為n+1。

　　推論1：由於最小值1與最大值n為互補數，因此最小值與最大值之和等於任一互補數之和。

 　　現在再來看電腦中的資料二進位表示，一個位元組內，最大值二進位 1111 1111 = 2**8-1=255，按我們上面分析看，數字總數為256，那互補的數就是

（1，255），（2，254),...(250,6),...(255,1). 再看其中一組互補數的二進位（1，255）

　　255  +1 = ？    1111 1111 + 0000 0001 = 1 0000 0000 ——>出現了第9位，電腦自動去掉最高位1——>0000 0000 = 0.

　　所以對下面代碼的結果為0.如果按照上面的結論，255+1  = 255-255 = 0，結果仍然為0

　　unsigned char  a=255;

　　a + 1 = 0 

　　那麼電腦怎麼進行減法運算的呢？255-1 = ？再看它的二進位運算

　　255 - 1 = 255 + -1 = 1111 1111 + 1000 0001 = 1 1000 0000 = 1000 0000 = -0 = 0

　　這樣看起來不太對啊，我們期望的結果應該是254才對。其實在進行運算的時候資料都是以補碼的形式出現的，上式沒有將負數轉化成補碼，所以得到的結果就會出人意料了，那為什麼在進行加法（即加上正數）的時候可以直接進行運算？那是因為正數的補碼是其本身。現在再看看負數的補碼運算

　　255 - 1 = 255 + -1 = 1111 1111 + 1000 0001的補碼 = 1111 1111 + 1 111 1110 + 1 = 1 1111 1110 = 1111 1110 = 254

 

4  負數的補碼運算公式的來曆

　　說來曆這個詞有點誇大，應該說是自己的推理更恰當一些。

　　比如說電腦中的char類型，它的取值範圍-128~127，並且127（最大值）+1 = -128（最小值），所以互補數之和應該為127+ -128=-1，127+|-128| = 255.

　　上式可知，對於位元組char類型，127與-128是互補數，再看其二進位表示

　　127     0111 1111

　　-128    1000 0000   

       -1       1111 1111

　  沒時間了，推不下去了，有時間的達人可以接著推下去，實在不好意思。