條件機率 乘法公式 全機率公式和貝葉斯公式

1.條件機率

定義 設A, B是兩個事件，且P(A)>0 稱

P(B∣A)=P(AB)/P(A)

為在條件A下發生的條件事件B發生的條件機率。

2.乘法公式

設P(A)>0 則有

P(AB)=P(B∣A)P(A)

3. 全機率公式和貝葉斯公式

定義 設S為實驗E的樣本空間，B1, B2, …Bn為E的一組事件，若

1. BiBj≠Ф, i≠j, i, j=1, 2, …,n;

 

B1∪B2∪…∪Bn=S

則稱B1, B2, …, Bn為樣本空間的一個劃分。

定理 設實驗E的樣本空間為，A為E的事件，B1, B2, …,Bn為的一個劃分，且P(Bi)>0 (i=1, 2, …n)，則

P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)+ …+P(A∣Bn)P(Bn)

稱為全機率公式。

定理 設實驗俄E的樣本空間為S，A為E的事件，B1, B2, …,Bn為的一個劃分，則

P(Bi∣A)=P(A∣Bi)P(Bi)/∑P(B｜Aj)P(Aj)=P(B｜Ai)P(Ai)/P(B)

稱為貝葉斯公式。

說明：i，j均為下標，求和均是1到n