轉]matlab學習-求最小值

 

1.有約束的一元函數的最小值 單變數函數求最小值的標準形式為 min f(x)      sub.to x1&lt;x&lt;x2   在MATLAB5.x中使用fmin函數求其最小值。 函數   fminbnd 格式   x = fminbnd(fun,x1,x2)    %返回自變數x在區間 上函數fun取最小值時x值，fun為目標函數的運算式字串或MATLAB自訂函數的函數柄。 x = fminbnd(fun,x1,x2,options)    % options為指定最佳化參數選項 [x,fval] = fminbnd(…)    % fval為目標函數的最小值 [x,fval,exitflag] = fminbnd(…)    %xitflag為終止迭代的條件 [x,fval,exitflag,output] = fminbnd(…)    % output為最佳化資訊 說明   若參數exitflag&gt;0，表示函數收斂於x，若exitflag=0，表示超過函數估計值或迭代的最大數字，exitflag&lt;0表示函數不收斂於x；若參數output=iterations表示迭代次數，output=funccount表示函數賦值次數，output=algorithm表示所使用的演算法。 例5-3   在[0，5]上求下面函數的最小值 f(x)=(x-3)^2-1 解：先自訂函數：在MATLAB編輯器中建立M檔案為： function f = myfun(x) f = (x-3).^2- 1; 儲存為myfun.m，然後在命令視窗鍵入命令： &gt;&gt; x=fminbnd(@myfun,0,5) 則結果顯示為： x =       3 2.無約束多元函數最小值 多元函數最小值的標準形式為 min f(x) 其中：x為向量，如 在MATLAB5.x中使用fmins求其最小值。 命令   利用函數fminsearch求無約束多元函數最小值 函數   fminsearch 格式   x = fminsearch(fun,x0)    %x0為初始點，fun為目標函數的運算式字串或MATLAB自訂函數的函數柄。 x = fminsearch(fun,x0,options)    % options查optimset [x,fval] = fminsearch(…)    %最優點的函數值 [x,fval,exitflag] = fminsearch(…)    % exitflag與單變數情形一致 [x,fval,exitflag,output] = fminsearch(…)   %output與單變數情形一致 注意：fminsearch採用了Nelder-Mead型簡單搜尋法。 命令   利用函數fminunc求多變數無約束函數最小值 函數   fminunc 格式   x = fminunc(fun,x0)    %返回給定初始點x0的最小函數值點 x = fminunc(fun,x0,options)    % options為指定最佳化參數 [x,fval] = fminunc(…)    %fval最優點x處的函數值 [x,fval,exitflag] = fminunc(…)    % exitflag為終止迭代的條件，與上同。 [x,fval,exitflag,output] = fminunc(…)    %output為輸出最佳化資訊 [x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(…)    % grad為函數在解x處的梯度值 [x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(…)    %目標函數在解x處的海賽（Hessian）值 注意：當函數的階數大於2時，使用fminunc比fminsearch更有效，但當所選函數高度不連續時，使用fminsearch效果較好。 例5-5   求 f(x)=3*x1^2+2*x1*x2+x2^2 的最小值。 &gt;&gt; fun=&#39;3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2&#39;; &gt;&gt; x0=[1 1]; &gt;&gt; [x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0) 結果為： x =    1.0e-008 *     -0.7591     0.2665 fval =    1.3953e-016 exitflag =       1 output =         iterations: 3          funcCount: 16           stepsize: 1.2353      firstorderopt: 1.6772e-007          algorithm: &#39;medium-scale: Quasi-Newton line search&#39; grad =    1.0e-006 *     -0.1677      0.0114 hessian =      6.0000     2.0000      2.0000     2.0000 或用下面方法： &gt;&gt; fun=inline(&#39;3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2&#39;) fun =       Inline function:       fun(x) = 3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2 &gt;&gt; x0=[1 1]； &gt;&gt; x=fminunc(fun,x0) x =    1.0e-008 *     -0.7591     0.2665 3.有約束的多元函數最小值 非線性有約束的多元函數的標準形式為： min f(x) sub.to      C(x)&lt;=0             Ceq(x)=0             A*x&lt;=b             Aeq*x=beq             lb&lt;=x&lt;=ub 其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq為矩陣，C(x)、Ceq(x)是返迴向量的函數，f(x)為目標函數，f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非線性函數。 在MATLAB5.x中，它的求解由函數constr實現。 函數   fmincon 格式   x = fmincon(fun,x0,A,b) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) [x,fval] = fmincon(…) [x,fval,exitflag] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(…) [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(…) 參數說明：fun為目標函數，它可用前面的方法定義； x0為初始值； A、b滿足線性不等式約束 ，若沒有不等式約束，則取A=[ ]，b=[ ]； Aeq、beq滿足等式約束 ，若沒有，則取Aeq=[ ]，beq=[ ]； lb、ub滿足 ，若沒有界，可設lb=[ ]，ub=[ ]； nonlcon的作用是通過接受的向量x來計算非線性不等約束 和等式約束 分別在x處的估計C和Ceq，通過指定函數柄來使用，如：&gt;&gt;x = fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)，先建立非線性約束函數，並儲存為mycon.m：function [C,Ceq] = mycon(x) C = …     % 計算x處的非線性不等約束 的函數值。 Ceq = …    % 計算x處的非線性等式約束 的函數值。 lambda是Lagrange乘子，它體現哪一個約束有效。 output輸出最佳化資訊； grad表示目標函數在x處的梯度； hessian表示目標函數在x處的Hessiab值。 例5-6   求下面問題在初始點（0，1）處的最優解 min    x1^2+x2^2-x1*x2-2*x1-5*x2 sub.to      -(x1-1)^2+x2&gt;=0             2*x1-3*x2+6&gt;=0 解：約束條件的標準形式為 sub.to    (x1-1)^2-x2&lt;=0           -2*x1+3*x2-6&lt;=0 先在MATLAB編輯器中建立非線性約束函數檔案： function   [c, ceq]=mycon (x) c=(x(1)-1)^2-x(2); ceq=[ ];       %無等式約束 然後，在命令視窗鍵入如下命令或建立M檔案： &gt;&gt;fun=&#39;x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)&#39;;      %目標函數 &gt;&gt;x0=[0 1]; &gt;&gt;A=[-2 3];    %線性不等式約束 &gt;&gt;b=6; &gt;&gt;Aeq=[ ];     %無線性等式約束 &gt;&gt;beq=[ ]; &gt;&gt;lb=[ ];        %x沒有下、上界 &gt;&gt;ub=[ ]; &gt;&gt;[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] =fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon) 則結果為 x =       3      4 fval =     -13 exitflag =       %解收斂       1 output =         iterations: 2          funcCount: 9           stepsize: 1          algorithm: &#39;medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search&#39;      firstorderopt: [ ]       cgiterations: [ ] lambda =           lower: [2x1 double]    %x下界有效情況，通過lambda.lower可查看。           upper: [2x1 double]    %x上界有效情況，為0表示約束無效。           eqlin: [0x1 double]     %線性等式約束有效情況，不為0表示約束有效。        eqnonlin: [0x1 double]     %非線性等式約束有效情況。         ineqlin: 2.5081e-008     %線性不等式約束有效情況。      ineqnonlin: 6.1938e-008     %非線性不等式約束有效情況。 grad =       %目標函數在最小值點的梯度    1.0e-006 *     -0.1776           0 hessian =     %目標函數在最小值點的Hessian值      1.0000    -0.0000     -0.0000     1.0000 例5-7   求下面問題在初始點x=(10, 10, 10)處的最優解。 Min    f(x)=-x1*x2*x3 Sub.to    0<=x1+2*x2+2*x3<=72 解：約束條件的標準形式為 sub.to       -1*x1-2*x2-2*x3<=0              x1+2*x2+2*x3<=72 >>fun= '-x(1)*x(2)*x(3)'; >>x0=[10,10,10]; >>A=[-1 -2 -2;1 2 2]; >>b=[0;72]; >> [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b) 結果為： x =     24.0000    12.0000    12.0000 fval =         -3456