Cooley-Tukey演算法 （蝶形演算法）

標籤：style   http   使用   資料   io   width   art   re   

Cooley－Tukey演算法差別於其它FFT演算法的一個重要事實就是N的因子能夠隨意選取。這樣也就能夠使用N＝rS的Radix－r演算法了。最流行的演算法都是以r＝2或r＝4為基的，最簡單的DFT不須要不論什麼乘法就能夠實現。比如：在S級且r＝2的情形下，下列索引映射的結果是：

　　S＞2時的－個一般慣例是，在訊號流程圖中2點DFT是以蝶形圖的形式繪出的，圖1給出了8點變換的圖示。訊號流程圖己經簡化成用全部指向一個節點的箭頭都代表加法的形式了，而常係數乘法則是在箭頭上加一個因子表示。Radix－r演算法具有logr（N）級，而且每組都有同樣類型的旋轉因子。

　　圖1 radix－2的長度為8的頻率抽取演算法

　　從圖的訊號流程圖能夠看出，計算能夠“就地”完畢，也就是蝶形所使用的儲存位置能夠被重寫，由於資料在下一步的計算中已不再須要了。Radix－2變換的旋轉因子乘法總數是：

由於每兩個箭頭僅有一個旋轉因子。

　　因為圖1中的演算法在頻域中開始將最初的DFT分成更短的DFT，所以這樣的演算法就叫作頻率抽取（decimatiON－in－frequency，DIF）演算法。典型的輸入值是按順序出現的，而頻率值的索引是按位逆序的。表給出了DIF Radix－2演算法的特徵值。

　　表 頻率抽取的Radix－2 FFT

　　我們還能夠用時間抽取（decimation h time，DIT）構造一種演算法。在該情況下，首先將輸入序列分開，就會發現全部頻率值都是按順序出現的。

　　圖2給出了索引41的radix－2和radix－4演算法的必要索引變換。radix－2演算法須要位順序的反轉，也就是位逆序。而radix－4須要首先構造一個2位的“數字”然後再反轉這些數字，這樣的操作就稱為數字逆序。

　　圖2 位逆序和數字逆序