全排列演算法的正確性證明

演算法老師給了個苦逼的全排列的證明問題，霎時費心。現整理如下：

分析以下產生排列演算法的正確性和時間效率：（為方便測試，原始碼附在最後）

              HeapPermute(n)

              //實現產生排列的Heap演算法

              //輸入：一個正正整數n和一個全域數組A[1..n]

              //輸出：A中元素的全排列

              if n= 1

                     writeA

              else

                     fori
←1 to n do

                            HeapPermute(n-1)

                            if
nis odd

                                   swapA[1]andA[n]

                            else
swap A[i]and A[n]

下面是我的證明：

當n=1時，輸出序列是1，成立。

當n=2時，輸出序列是1 2；2 1，成立。

假設當n=2k時，輸出的是全排列序列，並且滿足經過HeapPermute(n)後，數組中的值迴圈右移一位；當n=2k+1時，輸出的是全排列序列，並且滿足經過HeapPermute(n)後，數組中的值不變。

所以當n=2k+2時：

由於n=2k+2是偶數，所以當n進入HeapPermute方法以後，會首先執行HeapPermute（2k+1）,由假設可知，對於奇數2k+1，HeapPermute（2k+1）出來後，數組中的值得位置並不會發生變化，且是前2k+1個值得全排列。因此可以保證在fori<-1 to n的整個過程中，swap(A[i],A[n])語句使得原數組中的每一個值都會到第2n+2的位置，而對HeapPermute（2k+1），每個過程都是對這2k+1個數的全排列，所以可得HeapPermute（2k+2）會得到2k+2個數的全排列。

n次迴圈下來可見原來的1,2,….2k+1順次朝後挪了一個位置，第一個位置被2k+2佔據，因此滿足當n=2k+2是偶數時，數組中的元素迴圈右移一位。

當n=2k+3時：

由於n=2k+3是奇數，所以當n進入HeapPermute方法以後，會首先執行HeapPermute（2k+2）,由假設可知，對於偶數2k+2，HeapPermute（2k+2）出來後，數組中的值得位置會迴圈右移一位，並且輸出前2k+2個元素的全排列。因此可以保證在for i<-1 to n的整個過程中，swap（A[1],A[n]）,依次把A[1..n]的資料放到最後一個位置A[n]，然後對前2k+2個元素進行全排列，HeapPermute（2k+2）。所以HeapPermute（2k+3）後，輸出的是2k+3個元素的全排列，並且滿足出了過程後，數組中元素的順序不變。

這種方法的內在機制是什嗎？

首先我們可以看到

原始碼-------------------

#define N 4
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int A[9]={1,2,3,4,5,6,7,8,9};
FILE * out;
inline swap(int &a,int &b)
{
    int temp;
    temp=a;
    a=b;
    b=temp;
}
void print()
{
    int j=0;
    for(j=0;j<N;j++)
        fprintf(out,"%d ",A[j]);
    fprintf(out,"\n");
}
void HeapPermute(int n)
{
    int i=0;
    if(n==1)
        print();
    
    else
    {
        for(i=0;i<n;i++)//奇數項使得不改變順序，偶數項使得迴圈左移
        {

            HeapPermute(n-1);
            if(n%2)
                swap(A[0],A[n-1]);     
        
            else
                swap(A[i],A[n-1]);    

        }
        
    }
 
}
void main()
{
    out=fopen("jieguo.txt","w");
    HeapPermute(N);
    fprintf(out,"--------------------------------");
    print();
    exit(1);
}