1.3.2 區塊鏈中的密碼學——橢圓曲線密碼演算法（ECC）

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　　今天在學橢圓曲線密碼（Elliptic Curve Cryptography，ECC）演算法，自己手裡缺少介紹該演算法的專業書籍，故在網上查了很多博文與書籍，但是大多數部落格寫的真的是。。。你懂的。。。真不愧是 ‘天下文章一大抄’ 啊！ 雷同不說，關鍵是介紹的都不是很清楚，是我在閱讀過程中、產生的很多疑問無法解決！例如：只來句‘P+Q=R’，但是為什麼等於呢？是根據什麼計算出來的呢？ 後來查了好久，才發現：這是規定的、是定義！瞬間很是無語！

　　好了，不吐槽了，為了方便大家對橢圓曲線密碼演算法有系統的瞭解，我整理了幾篇較好的博文，並加上了自己的見解！

　　時間有限、見解不深，如出現錯誤，歡迎指正！

　　比特幣使用橢圓曲線演算法產生公開金鑰和私密金鑰，選擇的是secp256k1曲線。

　　橢圓曲線密碼學（Elliptic Curve Cryptography） 的縮寫。該演算法是基於橢圓曲線數學的一種公開金鑰密碼的演算法，其安全性依賴於橢圓曲線離散對數問題的困難性。

　　在ECC流行起來之前，幾乎所有的公開金鑰演算法都是基於RSA、DSA和DH ———— 基於模運算的可選加密系統。RSA及其友類演算法在當前仍非常重要，經常與ECC一併使用。不過，RSA及其友類演算法背後的原理很容易解釋，因而被廣泛理解，一些簡單的實現也可以很容易編寫出來；但ECC的實現基礎對於大多數人來說仍很神秘。

 　　具體來說，我將觸及以下主題：

　　1. 數學上的橢圓曲線及相關概念

　　2. 密碼學中的橢圓曲線

　　3. 橢圓曲線上的加密/解密

　　4. 橢圓曲線簽名與驗證簽名

 一、數學上的橢圓曲線及相關概念

 　　1.1  從平行線談起

　　平行線，永不相交。不過到了近代這個結論遭到了質疑。平行線會不會在很遠很遠的地方相交？事實上沒有人見到過。所以“平行線，永不相交”只是假設（大家想想初中學習的平行公理，是沒有證明的）。既然可以假設平行線永不相交，也可以假設平行線在很遠很遠的地方相交了。即平行線相交於無窮遠點P∞（請大家閉上眼睛，想象一下那個無窮遠點P∞，P∞是不是很虛幻，其實與其說數學鍛煉人的抽象能力，還不如說是鍛煉人的想象力）。給個圖協助理解一下：

  

　　直線上出現P∞點，所帶來的好處是所有的直線都相交了，且只有一個交點。這就把直線的平行與相交統一了。為與無窮遠點相區別把原來平面上的點叫做平常點。

　　以下是無窮遠點的幾個性質。

　　▲直線L上的無窮遠點只能有一個。（從定義可直接得出）
　　▲平面上一組相互平行的直線有公用的無窮遠點。（從定義可直接得出）
　　▲ 平面上任何相交的兩直線L1,L2有不同的無窮遠點。（否則L1和L2有公用的無窮遠點P ，則L1和L2有兩個交點A、P，故假設錯誤。）
　　▲平面上全體無窮遠點構成一條無窮遠直線。（自己想象一下這條直線吧）
　　▲平面上全體無窮遠點與全體平常點構成射影平面。

 

　　1.2  射影平面座標系統

　　射影平面座標系統是對普通平面直角座標系（就是我們初中學到的那個笛卡兒平面直角座標系）的擴充。我們知道普通平面直角座標系沒有為無窮遠點設計座標，不能表示無窮遠點。為了表示無窮遠點，產生了射影平面座標系統，當然射影平面座標系統同樣能很好的表示舊有的平常點（數學也是“向下相容”的）。

　　我們對普通平面直角座標繫上的點A的座標（x,y）做如下改造：
　　令x=X/Z ，y=Y/Z（Z≠0）；則A點可以表示為（X:Y:Z）。
　　變成了有三個參量的座標點，這就對平面上的點建立了一個新的座標體系。

　　例1：求點（1,2）在新的座標體系下的座標。
　　解：∵X/Z=1 ，Y/Z=2（Z≠0）∴X=Z，Y=2Z ∴座標為（Z:2Z:Z），Z≠0。即（1:2:1）（2:4:2）（1.2:2.4:1.2）等形如（Z:2Z:Z），Z≠0的座標，都是（1,2）在新的座標體系下的座標。

　　我們也可以得到直線的方程aX+bY+cZ=0（想想為什嗎？提示：普通平面直角座標系下直線一般方程是ax+by+c=0）。新的座標體系能夠表示無窮遠點嗎？那要讓我們先想想無窮遠點在哪裡。根據上一節的知識，我們知道無窮遠點是兩條平行直線的交點。那麼，如何求兩條直線的交點座標？這是初中的知識，就是將兩條直線對應的方程聯立求解。平行直線的方程是：aX+bY+c1Z =0； aX+bY+c2Z =0  (c1≠c2)；
　　（為什嗎？提示：可以從斜率考慮，因為平行線斜率相同）；

　　將二方程聯立，求解。有c2Z= c1Z= -（aX+bY），∵c1≠c2 ∴Z=0  ∴aX+bY=0；
　　所以無窮遠點就是這種形式（X：Y：0）表示。注意，平常點Z≠0，無窮遠點Z=0，因此無窮遠直線對應的方程是Z=0。

　　例2：求平行線L1：X+2Y+3Z=0 與L2：X+2Y+Z=0 相交的無窮遠點。
　　解：因為L1∥L2 所以有Z=0， X+2Y=0；所以座標為（-2Y:Y:0），Y≠0。即（-2:1:0）（-4:2:0）（-2.4:1.2:0）等形如（-2Y:Y:0），Y≠0的座標，都表示這個無窮遠點。

　　看來這個新的座標體系能夠表示射影平面上所有的點，我們就把這個能夠表示射影平面上所有點的座標體系叫做射影平面座標系統。

 

　　1.3  橢圓曲線

　　上一節，我們建立了射影平面座標系統，這一節我們將在這個座標系下建立橢圓曲線方程。因為我們知道，座標中的曲線是可以用方程來表示的（比如：單位圓方程是x2+y2=1）。橢圓曲線是曲線，自然橢圓曲線也有方程。

　　橢圓曲線的定義：
　　一條橢圓曲線是在射影平面上滿足方程---------------------------[1-1]的所有點的集合，且曲線上的每個點都是非奇異（或光滑）的。

　　定義詳解：

　　▲[1-1] 是Weierstrass方程（維爾斯特拉斯，Karl Theodor Wilhelm Weierstrass,1815-1897），是一個齊次方程。

　　▲ 橢圓曲線的形狀，並不是橢圓的。只是因為橢圓曲線的描述方程，類似於計算一個橢圓周長的方程，故得名。

　　我們來看看橢圓曲線是什麼樣的。

  

　　▲ 所謂“非奇異”或“光滑”的，在數學中是指曲線上任意一點的偏導數Fx(x,y,z)，Fy(x,y,z)，Fz(x,y,z)不能同時為0。如果你沒有學過高等數學，可以這樣理解這個詞，即滿足方程的任意一點都存在切線。

　　下面兩個方程都不是橢圓曲線，儘管他們是方程[3-1]的形式。

 
 

　　因為他們在（0:0:1）點處（即原點）沒有切線。

　　▲橢圓曲線上有一個無窮遠點O∞（0:1:0），因為這個點滿足方程[1-1]。

　　知道了橢圓曲線上的無窮遠點。我們就可以把橢圓曲線放到普通平面直角座標繫上了。因為普通平面直角座標系只比射影平面座標系統少無窮遠點。我們在普通平面直角座標繫上，求出橢圓曲線上所有平常點組成的曲線方程，再加上無窮遠點O∞（0:1:0），不就構成橢圓曲線了嗎？

　　我們設x=X/Z ，y=Y/Z代入方程[1-1]得到：
　　y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6 -------------------------[1-2]

　　也就是說滿足方程[1-2]的光滑曲線加上一個無窮遠點O∞，組成了橢圓曲線。為了方便運算，表述，以及理解，今後論述橢圓曲線將主要使用[1-2]的形式。

　　本節的最後，我們談一下求橢圓曲線一點的切線斜率問題。
　　由橢圓曲線的定義可以知道，橢圓曲線是光滑的，所以橢圓曲線上的平常點都有切線。而切線最重要的一個參數就是斜率k。

　　例3：求橢圓曲線方程上，平常點A(x,y)的切線的斜率k。

　　解：令F(x,y)= y2+a1xy+a3y-x3-a2x2-a4x-a6
　　求偏導數
　　Fx(x,y)= a1y-3x2-2a2x-a4
　　Fy(x,y)= 2y+a1x +a3
　　則導數為：f‘(x)=- Fx(x,y)/ Fy(x,y)=-( a1y-3x2-2a2x-a4)/(2y+a1x +a3)
　　　　　　　　 = (3x2+2a2x+a4-a1y) /(2y+a1x +a3)
　　所以 -------------[1-3]

　　看不懂解題過程沒有關係，記住結論[1-3]就可以了。

　　1.4  橢圓曲線上的加法

　　上一節，我們已經看到了橢圓曲線的圖象，但點與點之間好象沒有什麼聯絡。我們能不能建立一個類似於在實數軸上加法的運演算法則呢？天才的數學家找到了這一運演算法則

　　自從近世紀代數學引入了群、環、域的概念，使得代數運算達到了高度的統一。比如數學家總結了普通加法的主要特徵，提出了加群（也叫交換群，或Abel（阿貝爾）群），在加群的眼中。實數的加法和橢圓曲線的上的加法沒有什麼區別。這也許就是數學抽象把：）。關於群以及加群的具體概念請參考近世代數方面的數學書。

　　運演算法則：任意取橢圓曲線上兩點P、Q （若P、Q兩點重合，則做P點的切線）做直線交於橢圓曲線的另一點R’，過R’做y軸的平行線交於R。我們規定P+Q=R。（）

　　法則詳解：
　　▲這裡的+不是實數中普通的加法，而是從普通加法中抽象出來的加法，他具備普通加法的一些性質，但具體的運演算法則顯然與普通加法不同。

　　▲根據這個法則，可以知道橢圓曲線無窮遠點O∞與橢圓曲線上一點P的連線交於P’，過P’作y軸的平行線交於P，所以有 無窮遠點 O∞+ P = P 。這樣，無窮遠點 O∞的作用與普通加法中零的作用相當（0+2=2），我們把無窮遠點 O∞ 稱為 零元。同時我們把P’稱為P的負元（簡稱，負P；記作，-P）。（參見）

　　▲根據這個法則，可以得到如下結論 ：如果橢圓曲線上的三個點A、B、C，處於同一條直線上，那麼他們的和等於零元，即A+B+C= O∞

同一直線上的三個點之和等於0.

　　註：我們需要的只是三個點同線，與點的次序無關。這意味著，如果P、Q和R同線，那麼P + (Q + R) = Q + (P + R) = R + (P + Q) = ? ? ? = 0. 這樣，我們直觀地證明了我們的“+”運算既滿足結合律也滿足交換律。　　

　　▲k個相同的點P相加，我們記作kP。如：P+P+P = 2P+P = 3P。

　　下面，我們利用P、Q點的座標(x1,y1)，(x2,y2)，求出R=P+Q的座標(x4,y4)。

　　例4：求橢圓曲線方y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6上，平常點P(x1,y1)，Q(x2,y2)的和R(x4,y4)的座標。
　　解：（1）先求點-R(x3,y3)
　　因為P,Q,-R三點共線，故設共線方程為y=kx+b,其中
　　若P≠Q(P,Q兩點不重合) 則
　　直線斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)
　　若P=Q(P,Q兩點重合) 則直線為橢圓曲線的切線，故由例3.1可知：
　　k=(3x2+2a2x+a4 -a1y) /(2y+a1x+a3)

　　因此P,Q,-R三點的座標值就是方程組：
　　y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6    -----------------[1] 
　　y=(kx+b)                     -----------------[2]
的解。

　　將[2]，代入[1] 有
　　(kx+b)2+a1x(kx+b)+a3(kx+b) =x3+a2x2+a4x+a6    --------[3]
　　對[3]化為一般方程，根據三次方程根與係數關係（當三次項係數為1時；-x1x2x3 等於常數項係數， x1x2+x2x3+x3x1等於一次項係數，-(x1+x2+x3)等於二次項係數。）
　　所以-(x1+x2+x3)=a2-ka1-k2
　　x3=k2+ka1+a2+x1+x2;---------------------求出點-R的橫座標
　　因為k=(y1-y3)/(x1-x3) 故
　　y3=y1-k(x1-x3);-------------------------------求出點-R的縱座標

　　（2）利用-R求R
　　顯然有 x4=x3= k2+ka1+a2+x1+x2; ------------求出點R的橫座標
　　而y3 y4 為 x=x4時 方程y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6的解
　　化為一般方程y2+(a1x+a3)y-(x3+a2x2+a4x+a6)=0 , 根據二次方程根與係數關係得：
　　-(a1x+a3)=y3+y4
　　故y4=-y3-(a1x+a3)=k(x1-x4)-y1-(a1x4+a3); ---------------求出點R的縱座標
　　即：
　　x4=k2+ka1+a2+x1+x2;
　　y4=k(x1-x4)-y1-a1x4-a3;

　　本節的最後，提醒大家注意一點，以前提供的映像可能會給大家產生一種錯覺，即橢圓曲線是關於x軸對稱的。事實上，橢圓曲線並不一定關於x軸對稱。如的y2-xy=x3+1

 二、密碼學中的橢圓曲線　

　　我們現在基本上對橢圓曲線有了初步的認識，這是值得高興的。

　　但請大家注意，前面學到的橢圓曲線是連續的，並不適合用於加密；所以，我們必須把橢圓曲線變成離散的點, 要把橢圓曲線定義在有限域上。

　　讓我們想一想，為什麼橢圓曲線為什麼連續？是因為橢圓曲線上點的座標，是實數的（也就是說前面講到的橢圓曲線是定義在實數域上的），實數是連續的，導致了曲線的連續。因此，我們要把橢圓曲線定義在有限域上（顧名思義，有限域是一種只有由有限個元素組成的域）。

　　域的概念是從我們的有理數，實數的運算中抽象出來的，嚴格的定義請參考近世代數方面的數。簡單的說，域中的元素同有理數一樣，有自己得加法、乘法、除法、單位元(1)，零元(0),並滿足交換率、分配率。

　　下面，我們給出一個有限域Fp，這個域只有有限個元素。
   
　　Fp中只有p（p為素數）個元素0,1,2 …… p-2,p-1；
　　Fp 的加法（a+b）法則是 a+b≡c (mod p)；即，(a+c)÷p的餘數 和c÷p的餘數相同。
　　Fp 的乘法(a×b)法則是  a×b≡c (mod p)；
　　Fp 的除法(a÷b)法則是  a/b≡c (mod p)；即 a×b-1≡c  (mod p)；（b-1也是一個0到p-1之間的整數，但滿足b×b-1≡1 (mod p) ）。
　　Fp 的單位元是1，零元是 0。

　　同時，並不是所有的橢圓曲線都適合加密。y2=x3+ax+b是一類可以用來加密的橢圓曲線，也是最為簡單的一類。下面我們就把y2=x3+ax+b(mod p) 這條曲線定義在Fp上：

　　選擇兩個滿足下列條件的小於p(p為素數)的非負整數a、b
　　4a3+27b2≠0　(mod p)
　　則滿足下列方程的所有點(x,y)，再加上 無窮遠點O∞ ，構成一條橢圓曲線。
　　y2=x3+ax+b  (mod p)
　　其中x,y∈[0,p-1]的整數，並將這條橢圓曲線記為Ep(a,b)。

　　我們看一下y2=x3+x+1  (mod 23)的映像

　　是不是覺得不可思議？橢圓曲線，怎麼變成了這般模樣，成了一個一個離散的點？
　　橢圓曲線在不同的數域中會呈現出不同的樣子，但其本質仍是一條橢圓曲線。舉一個不太恰當的例子，好比是水，在常溫下，是液體；到了零下，水就變成冰，成了固體；而溫度上升到一百度，水又變成了水蒸氣。但其本質仍是H2O。

　　Fp上的橢圓曲線同樣有加法，但已經不能給以幾何意義的解釋。不過，加法法則和實數域上的差不多，請讀者自行對比。

　　1. 無窮遠點 O∞是零元，有O∞+ O∞= O∞，O∞+P=P
　　2. P(x,y)的負元是 (x,-y)，有P+(-P)= O∞
　　3. P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x3,y3) 有如下關係：
　　x3≡k2-x1-x2(mod p) 
　　y3≡k(x1-x3)-y1(mod p)
　　其中若P=Q 則 k=(3x2+a)/2y1  若P≠Q，則k=(y2-y1)/(x2-x1)

　　例5： 已知橢圓曲線已知E23(1,1)上兩點P(3,10)，Q(9,7)，求(1)-P，(2)P+Q，(3) 2P

          
        

解：

      

　　最後，我們講一下橢圓曲線上點的階。

　　如果橢圓曲線上一點P，存在最小的正整數n，使得數乘nP=O∞，則將n稱為P的 階，若n不存在，我們說P是無限階的。
　　事實上，在有限域上定義的橢圓曲線上所有的點的階n都是存在的。

       

　　計算可得27P=-P=(3,13)

　　所以28P=O ∞ P的階為28

　　這些點做成了一個迴圈阿貝爾群，其中產生元為P，階數為29。顯然點的分布與順序都是雜亂無章

 

三、橢圓曲線上的加密/解密

　　公開密鑰演算法總是要基於一個數學上的難題。比如RSA 依據的是：給定兩個素數p、q 很容易相乘得到n，而對n進行因式分解卻相對困難。那橢圓曲線上有什麼難題呢？

　　考慮如下等式：
　　K=kG  [其中 K,G為Ep(a,b)上的點，k為小於n（n是點G的階）的整數]
　　不難發現，給定k和G，根據加法法則，計算K很容易；但給定K和G，求k就相對困難了。
　　這就是橢圓曲線密碼編譯演算法採用的難題。

　　我們把點G稱為基點（base point），

　　k（k<n，n為基點g的階）稱為私人密鑰（privte key），

　　k稱為公開密鑰（public="" key)。<="" p="">

　　現在我們描述一個利用橢圓曲線進行加密通訊的過程：

　　1、使用者A選定一條橢圓曲線Ep(a,b)，並取橢圓曲線上一點，作為基點G。
　　2、使用者A選擇一個私人密鑰k，並產生公開密鑰K=kG。
　　3、使用者A將Ep(a,b)和點K，G傳給使用者B。
　　4、使用者B接到資訊後 ，將待傳輸的明文編碼到Ep(a,b)上一點M（編碼方法很多，這裡不作討論），併產生一個隨機整數r（r<n）。
　　5、使用者B計算點C1=M+rK；C2=rG。
　　6、使用者B將C1、C2傳給使用者A。
　　7、使用者A接到資訊後，計算C1-kC2，結果就是點M。

　　因為C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M再對點M進行解碼就可以得到明文。

　　在這個加密通訊中，如果有一個偷窺者H ，他只能看到Ep(a,b)、K、G、C1、C2 而通過K、G 求k 或通過C2、G求r 都是相對困難的。因此，H無法得到A、B間傳送的明文資訊。

總結：   
設私密金鑰、公開金鑰分別為k、K，即K = kG，其中G為G點。 　　公開金鑰加密：　　選擇隨機數r，將訊息M產生密文C，該密文是一個點對，即：　　C = {rG, M+rK}，其中K為公開金鑰 　　私密金鑰解密：　　M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M　　其中k、K分別為私密金鑰、公開金鑰。

 

       ECC技術要求：

　　密碼學中，描述一條Fp上的橢圓曲線，常用到六個參量：
       T=(p,a,b,G,n,h)。
　　（p 、a 、b 用來確定一條橢圓曲線，G為基點，n為點G的階，h 是橢圓曲線上所有點的個數m與n相除的整數部分）

　　這幾個參量取值的選擇，直接影響了加密的安全性。參量值一般要求滿足以下幾個條件：

　　1、p 當然越大越安全，但越大，計算速度會變慢，200位左右可以滿足一般安全要求；
　　2、p≠n×h；
　　3、pt≠1 (mod n)，1≤t<20；
　　4、4a3+27b2≠0 (mod p)；
　　5、n 為素數；
　　6、h≤4。

 

 

四、橢圓曲線簽名與驗證簽名

 　　橢圓曲線簽名演算法，即ECDSA。
　　設私密金鑰、公開金鑰分別為k、K，即K = kG，其中G為G點。
 
　　私密金鑰簽名：
　　1、選擇隨機數r，計算點rG(x, y)。
　　2、根據隨機數r、訊息M的雜湊h、私密金鑰k，計算s = (h + kx)/r。
　　3、將訊息M、和簽名{rG, s}發給接收方。
 
　　公開金鑰驗證簽名：
　　1、接收方收到訊息M、以及簽名{rG=(x,y), s}。
　　2、根據訊息求雜湊h。
　　3、使用發送方公開金鑰K計算：hG/s + xK/s，並與rG比較，如相等即驗簽成功。
 
　　原理如下：
　　hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s
　　= r(h+xk)G / (h+kx) = rG

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REFERENCE

1.巴位元論壇 ZMWorm http://8btc.com/article-138-1.html

2.張禾瑞，《近世代數基礎》，高等教育出版社，1978

3.閔嗣鶴 嚴士健，《初等數論》，高等教育出版社，1982

4. ECC詳解 https://www.cnblogs.com/Kalafinaian/p/7392505.html

1.3.2 區塊鏈中的密碼學——橢圓曲線密碼演算法（ECC）