切西瓜 ( 1)

切西瓜

摘要:

本文主要目的在於對一個k維空間進行n次分割後可得到的最大地區數提供一個普適公式.

關鍵詞:

空間,平面,地區數,邊界

 

 

 

1.一個西瓜切4刀最多能切多少塊?顯然就4刀這個約束條件,答案是無數塊.例如如下情況中的任何一種理論上都可能得到無數塊

1.1.採取曲線切割方式,即刀走的路線是曲線

1.2.刀是曲面.

1.3.西瓜不是凸空間幾何形狀.

顯然1,2情況的原理是一樣的很好理解.對於情況3,舉例如下,設想一個鋸齒形西瓜(現實中不可能)鋸齒越多,一刀切過去可能得到的塊數越多.

顯然,上述展示的發散思維有一種好處,那就是可以發現新大陸.但在此,我們不討論發散思維.發散思維不能進一步協助我們建立系統的知識。

 

 

 

2.為了系統化討論該問題，我們對該問題加強約束條件。首先，將此問題轉化為

廣義切割問題：用n個平面切一個空間，最多可得多少塊？

為了便於下文論述，對該問題的兩個概念（空間與平面）進行假設，且在未經特殊說明的情況下，這些假設在此文討論的範圍內恒成立。

2.1.概念相對性:

任何被切割k維空間簡稱空間，相應的切割工具k-1維空間稱平面。視討論情況的維數而定。

2.2.地區類別約定:

該文提到的空間，平面均為線性凸開地區。（凸，開的定義與平面地區類似）

 

論述前,我先給出一個通過我的結論得出的表格(如下表),看你能否能看出其中的規律.

k\n	0  1   2    3   4    5    6     …   …
1 2 3 4	1  2   3    4   5    6    7 1  2   4    7   11   16   22 1  2   4    8   15   26   42 1  2   4    8   16   31   57

 

 

 

 

3.題設:

3.1.用n個平面切割一個k維空間所得塊數為:

 

4.幾個顯然的結論:

4.1.當兩條直線相交與一點,互相分割了對方,相當於他們的交點分別分割了這兩條直線.即用一個k維直線A切割k維直線B,B被分割的塊數      

等價於     

A,B的交點切割B空間的塊數.

4.2.一個平面能將其經過的空間地區一分為二,因此

在已經切了n-1刀的情況下,已經有x塊, 我們設想如果再切一刀(即第n刀),將增加y塊 

等價於 

第k刀經過了 x塊中的y塊

 

 

5.用n個平面分割k維空間,首先我們分n個步驟:每次增加一個平面,(每次切一刀),重複n次.

根據結論4.2,要得到最多的塊數

我們需要保證每一刀都經過盡量多的地區,

假設1.每一刀都經過現有基礎條件下(前面的切割以得到的塊數的條件下)的可能的最多塊數.

假設2.第n刀經過地區最多為a個

根據假設1,2有

                                                   (5.1)

由於平面經過的地區會與該地區的邊界相交.因此

假設2

等價於

這些地區的邊界將第n個平面最多分成a塊

等價於(根據結論4.1和n-1個平面組成了這些空間地區的邊界)

第n個平面與其他n-1個平面的交線最多將其分成a塊

等價於

n-1條直線最多將一個平面分成a塊

等價於(根據說明1的概念相對性)

n-1個平面最多將一個k-1維空間分成a塊

上文提到的表格就是通過該式得出來的,下面通過彩色標記來加強這一關係的表達.

k\n	0  1   2    3   4    5    6     …   …
1 2 3 4	1  2   3    4   5    6    7 1  2   4    7   11   16   22 1  2   4    8   15   26   42 1  2   4    8   16   31   57

不好意思, 各位, 公式不顯示, 有興趣的可以上我空間看http://user.qzone.qq.com/1220645790/infocenter, 或者在http://ishare.iask.sina.com.cn/f/15412823.html下載(這個比空間的詳細).
 改天我把它寫到google文檔, 這樣大家更方便.