《大話資料結構》第9章 排序 9.7 堆排序（上）_大話資料結構

9.7.1 堆結構介紹         我們前面講到 簡單選擇排序，它在待排序的n個記錄中選擇一個最小的記錄需要比較n-1次。本來這也可以理解，尋找第一個資料需要比較這麼多次正常的，否則如何知道它是最小的記錄。
        可惜的是，這樣的操作並沒有把每一趟的比較結果儲存下來，在後一趟的比較中，有許多比較在前一趟已經做過了，但由於前一趟排序時未儲存這些比較結果，所以後一趟排序時又重複執行了這些比較操作，因而記錄的比較次數較多。
如果可以做到每次在選擇到最小的記錄的同時，並根據比較對其他記錄做出相應的調整，那樣排序的總體效率就會非常高了。而堆排序（Heap Sort），就是對簡單選擇排序進行的一種改進，這種改進的效果是非常明顯的。堆排序演算法是Floyd和Williams在1964年共同發明的，同時，他們發明了堆這樣的資料結構。
        回憶一下我們小時候，特別是男同學，基本都玩過疊羅漢的惡作劇。通常都是先把某個要整的人按倒在地，然後大家就一擁而上撲了上去……後果。後果當然就是一笑了知，一個惡作劇而已。不過在西班牙的加泰羅尼亞地區，他們將疊羅漢視為了正兒八經的民族體育活動，如圖9-7-1，可以想像當時場面的壯觀。
 
        疊羅漢運動是把人堆在一起，而我們這裡要介紹的“堆”結構相當於把數字記號堆成一個塔型的結構。當然，這絕不是簡單的堆砌。大家看圖9-7-2，能夠找到什麼規律嗎。
 
        很明顯，我們可以發現它們都是二叉樹，如果觀察仔細些，還能看出它們都是完全二叉樹。左圖中根結點是所有元素中最大的，右圖的根結點是所有元素中最小的。再細看看，發現左圖每個結點都比它的左右孩子要大，右圖每個結點都比它的左右孩子要小。這就是我們要講的堆結構。
        堆是具有下列性質的完全二叉樹：每個結點的值都大於或等於其左右孩子結點的值，稱為大頂堆（例如圖9-7-2左圖）；或者每個結點的值都小於或等於其左右孩子結點的值，稱為小頂堆（例如圖9-7-2右圖）。
        這裡需要注意從堆的定義可知，根結點一定是堆中所有結點最大（小）者。較大（小）的結點靠近根結點（但也不絕對，比如右圖小頂堆中60、40均小於70，但它們並沒有70靠近根結點）
        如果按照層序遍曆的方式給結點從1開始編號，則結點之間滿足如下關係：
 
        這裡為什麼i要小於等於⌊n/2⌋呢。相信大家可能都忘記了二叉樹的性質5（詳見本書6.6節），其實忘記也不奇怪，這個性質在我們講完之後，就再也沒有提到過它。可以說，這個性質彷彿就是在為堆準備的。性質5的第一條就說一棵完全二叉樹，如果i=1，則結點i是二叉樹的根，無雙親；如果i>1，則其雙親是結點⌊i/2⌋。那麼對於有n個結點的二叉樹而言，它的i值自然就是小於等於⌊n/2⌋了。性質5的第二、三條，也是在說明下標i與2i和2i+1的雙親子女關係。如果完全忘記的同學不妨去複習一下。
        如果將圖9-7-2的大頂堆和小頂堆用層序遍曆存入數組，則一定滿足上面的關係表達。如圖9-7-3。
 
        我們現在講這個堆結構，其目的就是為了堆排序用的。 出處：http://www.cnblogs.com/cj723/archive/2011/04/21/2024261.html