資料結構（七）之樹

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二叉尋找樹尋找插入和刪除的時間複雜度都為O(log N)。但它有個弊端。如果輸入的資料是排序資料，那麼代價巨大，因為樹將只由那麼沒有左（或右）兒子的節點群組成。一種解決方案是找平衡條件：任何節點的深度不能過深。最老的一種平衡尋找樹，即AVL樹。另外，較新的方法是放棄平衡條件，允許樹有任何的深度，但是在每次操作之後要使用一個調整規則進行調整，使得後面的操作效率更高，這是自調整類結構，例如伸展樹。

1. AVL樹

AVL樹是每個節點的左子樹和右子樹的高度最多差1的二叉尋找樹。除去可能的插入外，所有的樹尋找都可以以時間O(log N)執行。插入一個節點要靠旋轉來修正：旋轉有兩種情況，一是插入發生在“外邊的情況”，通過單旋轉來調整。二是發生在“內部”的情形，通過“雙旋轉”來實現。除旋轉引起的局部變化外，編程人員必須記住：樹的其他部分必須知曉該變化。

對AVL樹的刪除多少要比插入複雜，如果刪除操作相對較少，那麼懶惰刪除恐怕是最好的策略。

2. 伸展樹

伸展樹的基本想法是，當一個節點被訪問後，它就要經過一系列AVL樹的旋轉被放到根上。另外，伸展樹還不要求保留高度或平衡資訊。
保證從空樹開始任意連續M次對樹的操作最多花費O(Mlog N)的時間。
展開思路：從底部向上沿著訪問路徑旋轉。如果X的父節點是樹根，那麼我們只要旋轉X和樹根。這是最後的旋轉。如果出現之字型，則像AVL那樣雙旋轉。如果出現一字型，則將左邊的樹變換成右邊樹。

我們可以通過訪問要刪除的節點實行刪除操作。將節點推到根處，然後找到左子樹中最大的元素然後旋轉到左子樹下，此時的左子樹沒有右兒子，我們將可以使右子樹稱為右兒子從而結束刪除。對於伸展樹分析很困難，但編程要比AVL樹簡單得多，這是因為要考慮得情形少許並且沒有平衡資訊需要儲存。

3. B樹

迄今為止，我們始終假設可以把整個資料結構儲存到電腦的主存中。可是，如果資料太多主存裝不下，那麼就意味著必須把資料結構放在磁碟上。此時，因為大O模型不再使用，所以導致規則發生了變化。
一棵M叉尋找樹可以有M路分支，隨著分支增加，樹的深度在減少。一顆完全M叉樹的高度約為logMN。
B樹是平衡M-路樹，是常用的尋找樹。
階為M的B-樹定義：

> 資料項目儲存在樹葉上> 非分葉節點儲存直到M-1個鍵，以指示搜尋的方向；鍵i代表子樹i+1中得知最小的鍵> 樹的根或者是一片樹葉，或者其兒子數在2到M之間> 除根外，所有非樹分葉節點的兒子數在[M/2]到M之間> 所有的樹葉都在相同的深度上並有[L/2]和L之間個資料項目

L=5時，

4階B-樹稱為2-3-4樹，3階B-樹叫做2-3樹。

B-樹的深度最多是[logM/2N]，我們執行O(log M)時間的工作量以確定選擇哪個分支（使用折半尋找），但是Insert和Delete運算可能需要O(M)的工作量來調整該節點該節點上的所有資訊，因此，對於每個Insert和Delete，最壞情形的已耗用時間為O(MlogMN)=O((M/logM)logN)。不過，對於一次Find只花費O(log N)的時間。經驗指出，從已耗用時間考慮，M的最好選擇是M=3或4。
B-樹實際用於資料庫系統，在那裡樹被儲存在物理的磁碟上而不是主存中。一般來說，對磁碟的訪問要比任何的主存操作慢幾個數量級。如果我們使用M-階B-樹，那麼磁碟訪問次數是O(logMN)。雖然每次磁碟訪問花費O(logM)來確定分支的方向，但是執行該操作的時間一般比讀儲存空間的區塊所花費的時間少得多。

總結

我們已經看到樹在作業系統、編譯器設計以及尋找中的應用。運算式樹狀架構是更一般結構即所謂的分析樹的一個小例子，分析樹是編譯器設計中的核心資料結構。尋找樹在演算法設計中是非常重要的。它們幾乎支援所有有用的操作。尋找樹的非遞迴實現多少要快一些，但是遞迴實現更講究、更精彩，而且易於理解和除錯。尋找樹的問題在於，其效能嚴重的依賴於輸入，而輸入則是隨機的。不改變樹的操作都可以使用標準二叉尋找樹的程式。改變樹的操作必須將樹恢複。在伸展樹中的節點可以達到任意深度，但是在每次訪問之後樹又以多少有些神秘的方式被調整。任意連續M次操作花費O(M log N)的時間，它與平衡樹花費的時間相同。B-樹是平衡M-路樹，它能很好的匹配磁碟。其特殊情形是2-3樹，它是實現平衡尋找樹的另一種常用方法。在實踐中，所有平衡樹方案的已耗用時間都不如簡單二叉尋找樹省時。