資料結構與演算法學習之路：LIS——最長遞增序列的動態規划算法和二分思想演算法_資料結構與演算法

一、最長遞增序列的問題描述：

求一個整數序列的最長遞增子序列，子序列不要求是連續的。例如：

Input：4,6,9,6,7,6,3,8,10；Output：5

二、解決方案：

1、用動態規劃的方法解決。從問題我們可以知道，我們最終得到的最長遞增子序列，其任意一段子序列也是對應序列中的最長子序列。這樣說可能不好理解，就以上面的例子來說：

最長子序列為：4，6， 7， 8， 10。在這段子序列的子序列裡選一個，例如：4，6，7。則4，6，7也是4，6，9，6，7，6，3這段序列的最長子序列。

對於動態規劃思想，我們最重要的是找到狀態和狀態轉移方程，那我們來看看這裡怎麼得到這兩個關鍵東西：

假設，nums={4,6,9,6,7,6,3,8,10}，f(x)表示前x個數以nums[x]結尾的序列中，最長子序列的長度，那麼：

f(1)=1；f(2)=max{f(1)+1，1}=2；f(3)=max{f(2)+1，1}，……以此類推。這裡或許有人問了，為什麼是f(x-1)+1和1比較啊。原因很簡單：以f(2)為例，f(2)=f(1+1)，而f(1)=1，也就是說，f(2)的結果是和f(1)關聯的，而f(2)本身具有一個初始值1，根據問題要求f(2)的最終值應該是通過f(1)運算所得值和它的初始值選大的那一個。後面的也就以此類推了。

2、這種方法非常巧妙，主要思想是這樣的，我不管你的序列是由什麼組成的，我只在乎這個序列的長度是多少。於是我建立一個數組d[length]，d[0]用來儲存最長序列長度，d[i]表示最長遞增序列長度為i時，序列的結尾元素。通過二分尋找不斷的為元素找插入的位置，構成一個最長序列。

這種解法的關鍵在於：我們要獲得的最長遞增序列，事實上只要保證每個位置的數字足夠小，而且有序，那麼得到的自然是最長子序列。說的可能不太清楚，大家可以通過代碼感受一下我的意思。

三、代碼：

1、O（n^2）的DP演算法

int lis1(int* nums, int length){int lis_len = 1;int d[9];for (int i = 0; i < length; ++i){d[i] = 1;for (int j = 0; j < i; ++j)if (nums[i] >= nums[j] && d[i] < d[j] + 1)++d[i];if (lis_len < d[i])lis_len = d[i];}return lis_len;}

2、O（nlogn）的二分思想演算法

int lis2(int* nums, int length){int d[9];int mid, left, right;d[0] = 1;d[1] = nums[0];for (int i = 1; i < length; ++i){left = 1;right = d[0];while (left <= right){mid = (left + right) / 2;if (nums[i] > d[mid])left = mid + 1;elseright = mid - 1;}d[left] = nums[i];if (left > d[0])++d[0];}return d[0];}