資料結構 練習 16-動態規劃 1

參考文獻 《演算法導論》 第15章

 

所謂“動態規劃“”，就是尋求最優解的過程，採用的也是遞迴的思想，不過與分而治之的區別是：分治法，每個子問題是獨立的，只要求出每個字問題，然後合并一下，就可以了；而動態規劃雖然也是遞迴的過程，但子問題不獨立，下文將結合例子講解。

根據《演算法導論》，動態規劃(dynamic programming) 包括一下四個方面：

1，描述最優解的結構

2，遞迴定義最優解的值

3，自底向上的方式計算最優解的值

4，有計算出的結果構造一個最優解。

還是引用書上的裝配調度來分析。不清楚題目的，請看原始第二版 P192

為了 找到最優路徑，如果我們採用笨辦法就是所有路徑都算一遍，當然肯定可以的，但是複雜度為O(2^n)，電腦沒法接受。

在此背景下，動態規劃來了。

動態規劃的核心思想是：子問題最優，子子問題最優，不斷最優。而在最優的過程中，充分利用了，子問題之間的關係，避免重複計算。後一個最優一定是在前一個最優的基礎上建立的，而分治沒有。根本原因，在於，動態規劃針對的就是最優問題。當然分治法也可以針對最優，但是動態規劃在求最優方面是分治的進化，是更進階的東西。

據上面的例子：

假如分治法找到到a1,3的最短路徑，OK,所有遍曆：

e1    a1,1   a1,2    a1,3 

e 1   a1,1    a2,2   a1,3

e2    a2,1   a2,2    a1,3

e2    a2,1   a1,2    a1,3

假設採用動態規劃：

通向a1,3有倆條路徑，a1,2 和 a2,2

此時，分別計算通往a1,2  a2,2  的最優路徑，然後比較，再決定哪條路徑最優。

在此過程中，a1,2 到 a1,3隻計算一次，而在，分治法中，a1,2 到a1,3計算了倆次，如上第一行和第四行，依此原理其他路徑也只要計算一次；這樣計算量大大縮減，當然有的人會說，每個點增加了一次比較(選擇子最優)。

但是點到點之間的重複計算隨著規模的增大而增大。也正由於比較的存在，一個點一次，導致最後的複雜度為O(N)。

根據《演算法導論》給出遞推關係式：

下面嘗試給出代碼：

 我自己用遞迴函式寫的代碼

#include<iostream>using namespace std;//聲明幾個全域變數。一般不建議聲明全域變數，但這隻是功能測試。int a1[6]={7,9,3,4,8,4};int a2[6]={8,5,6,4,5,7};int t1[5]={2,3,1,3,4};int t2[5]={2,1,2,2,1};int e1=2;//進入網站的時間int e2=4;int x1=3;//退出網站的時間int x2=2;int l1[5];int l2[5];//記錄留個位置 int sum1;int sum2;//f1 路線1上到網站_a1的最優路徑的時間總和，_t1路徑轉移數組的下標，其餘類似void fastWay(int f1,int f2,int _t1,int _a1,int _t2,int _a2){  if(_t1>=5||_t2>=5|| _a1>=6|| _a2>=6) return;//遍曆完成int tmp1;int tmp2;tmp1=f2+t2[_t2]+a1[_a1];tmp2=f1+a1[_a1];int inputData1,inputData2;    if(tmp1>tmp2){        l1[_a1-1]=1;inputData1=tmp2;       }else{        l1[_a1-1]=2;inputData1=tmp1;}sum1=inputData1;tmp1=f1+t1[_t1]+a2[_a2];tmp2=f2+a2[_a2];if(tmp1>tmp2){l2[_a2-1]=2;inputData2=tmp2;}else{l2[_a2-1]=1;inputData2=tmp1;}sum2=inputData2;_t1++;_a1++;_t2++;_a2++;fastWay(inputData1,inputData2,_t1,_a1,_t2,_a2);}int main(){ int addedF1=e1+a1[0]; int addedF2=e2+a2[0]; fastWay(addedF1,addedF2,0,1,0,1); for(int i=0;i<5;++i) cout<<l1[i]; cout<<endl; for(int i=0;i<5;++i) cout<<l2[i];  if(sum1+x1>sum2+x2)    {cout<<"花的最少時間是："<<sum2+x2<<"經過的網站為：";        for(int i=0;i<5;++i)        cout<<l2[i];cout<<2;    }  else   { cout<<"花的最少時間是："<<sum1+x1<<"經過的網站為：";      for(int i=0;i<5;++i)        cout<<l1[i];cout<<1;   }    return 0;}

測試結果：

程式利用了函數的遞迴，需要反覆壓入棧，效率，不如直接迴圈高，如  http://www.cnblogs.com/Anker/archive/2013/03/09/2951785.html 寫的代碼 還是不錯的。