資料結構-練習 12 堆以及最優隊列的實現

堆排序是最重要的排序演算法之一，在平時的開發以及面試中經常會用到。堆的特點是：

        1，有一顆完全二叉樹構成，1；

         2，可分為最大堆和最小堆。最大堆的意思就是：任何根節點的資料不小於左右孩子節點的資料；反之，最小堆的意思就是任何節點的資料不大於左右孩子節點的資料；

         3，堆排序的演算法複雜度為O(NlgN)，比冒泡和插入快，究其原因在於堆只維護局部最大或最小。

         4，堆的儲存用數組實現，按層儲存，1；

                                          

                                                       儲存在數組裡：

                                                   

                                                         圖 1

  下面分四部分講解堆，分別為：堆的插入，刪除，以及堆排序，最後是堆化的優先隊列。

  一，堆的插入

  堆的插入只能在最後一個位置插入， 2。只能在黑色圈的地方插入。插入以後，必須進行更新，以保持堆的性質，即根資料最大或是最小。更新的思路：從插入節點到根節點，依次比較更新，直到滿足條件（本列子就是：根資料小於左右孩子）。

                                                                大致原理解：

關鍵代碼如下：

            注意的是：左孩子和右孩子的順序分別為2i+1,2i+2。結合上面的流程圖，插入的過程為：從下往上依次比較，重新調整堆的結構。

void MinHeapFixup(int* a, int i)  {      int j, temp;           temp = a[i];      j = (i - 1) / 2;      //父結點      while (j >= 0 && i != 0)      {          if (a[j] <= temp)              break;                    a[i] = a[j];     //把較大的子結點往下移動,替換它的子結點          i = j;          j = (i - 1) / 2;      }      a[i] = temp;  }  void MinHeapAddNumber(int* a, int n, int nNum)  {      a[n] = nNum;      MinHeapFixup(a, n);  }  

二，堆的刪除

記住只能刪除最頂部的元素，再把最低端的元素放到最頂端，從上往下依次更新整個堆。如下：

void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)  {      int j, temp;        temp = a[i];      j = 2 * i + 1;      while (j < n)      {          if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //如果存在有孩子，比較左右孩子的大小            j++;            if (a[j] >= temp)              break;            a[i] = a[j];             i = j;          j = 2 * i + 1;      }      a[i] = temp;  }  void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)  {  std::swap(a[0], a[n - 1]);      MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);  }  

總結：刪除，只能刪除頭結點，然後從上往下依次調整堆；插入，只能在末端插入，然後從下往上依次調整堆。三，堆化數組，採用插入的思想從下往上依次調整堆即可。此時調整每一個非葉子節點即可。關鍵代碼如下：

void MakeMinHeap(int* a, int n)  {      for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)      MinHeapFixdown(a, i, n);  }  

測試：結合圖形中的資料，我們示範一遍：

int main(){int a[8]={9,7,5,6,8,4,10};cout<<"原始數組裡的資料為：";for(int i=0;i<7;++i)cout<<a[i]<<" ";cout<<endl<<"堆化後的數組為：";    MakeMinHeap(a, 7);for(int i=0;i<7;++i)cout<<a[i]<<" ";    cout<<endl<<"增加一個資料3後的數組為：";    MinHeapAddNumber(a,7,3);    for(int i=0;i<8;++i)cout<<a[i]<<" ";    MinHeapDeleteNumber(a,8);   cout<<endl<<"刪除頂點後的資料為：";   for(int i=0;i<7;++i)cout<<a[i]<<" ";    return 0;}

我們自然要問：維護一個堆結構的意義何在？至少有兩個目的：堆排序和優先隊列。四 ，堆排序。思想：既然我們可以每次取出頂點的資料，取到的資料又是最小資料，根據此思想，我們可以把數組裡的資料全部取完後得到的資料就是有順序的了。不過跟歸併排序一樣，空間複雜度增加了，必須有一個數組去接受。測試：

int b[8];    for(int i=0;i<8;++i){b[i]=a[0];    MinHeapDeleteNumber(a,8-i);}for(int i=0;i<8;++i)cout<<b[i]<<" ";

我們知道，任何演算法都得用時間複雜度計算一下，否則，演算法沒什麼意義。由於按樹堆化，樹高lgN，最壞情況下，每層計算N次，所以複雜度為：O(NlgN),跟歸併一樣。最優隊列：最優隊列是每次都彈出資料的最大或是最小值。每次進隊列後，都要一次更新操作。每次出隊列都要一次刪除操作。