資料結構之並查集Union-Find Sets_資料結構

1、  概述

並查集（Disjoint set或者Union-find set）是一種樹型的資料結構，常用於處理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查詢問題。

2、  基本操作

並查集是一種非常簡單的資料結構，它主要涉及兩個基本操作，分別為：

A． 合并兩個不相交集合

B． 判斷兩個元素是否屬於同一個集合

（1）       合并兩個不相交集合（Union(x,y)）

合併作業很簡單：先設定一個數組Father[x]，表示x的“父親”的編號。那麼，合并兩個不相交集合的方法就是，找到其中一個集合最父親的父親（也就是最久遠的祖先），將另外一個集合的最久遠的祖先的父親指向它。

上圖為兩個不相交集合，b圖為合并後Father(b):=Father(g)

（2）       判斷兩個元素是否屬於同一集合（Find_Set(x)）

本操作可轉換為尋找兩個元素的最久遠祖先是否相同。可以採用遞迴實現。

3、  最佳化

（1）       Find_Set(x)時，路徑壓縮

尋找祖先時，我們一般採用遞迴尋找，但是當元素很多亦或是整棵樹變為一條鏈時，每次Find_Set(x)都是O(n)的複雜度。為了避免這種情況，我們需對路徑進行壓縮，即當我們經過”遞推”找到祖先節點後，”回溯”的時候順便將它的子孫節點都直接指向祖先，這樣以後再次Find_Set(x)時複雜度就變成O(1)了，如下圖所示。可見，路徑壓縮方便了以後的尋找。

（2）       Union(x,y)時，按秩合并

即合并的時候將元素少的集合合并到元素多的集合中，這樣合并之後樹的高度會相對較小。

4、  編程實現 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69