資料結構之伸展樹_資料結構

1、 概述

二叉尋找樹（Binary Search Tree，也叫二叉排序樹，即Binary Sort Tree）能夠支援多種動態集合操作，它可以用來表示有序集合、建立索引等，因而在實際應用中，二叉排序樹是一種非常重要的資料結構。

從演算法複雜度角度考慮，我們知道，作用於二叉尋找樹上的基本操作（如尋找，插入等）的時間複雜度與樹的高度成正比。對一個含n個節點的完全二叉樹，這些操作的最壞情況已耗用時間為O(log n)。但如果因為頻繁的刪除和插入操作，導致樹退化成一個n個節點的線性鏈（此時即為一個單鏈表），則這些操作的最壞情況已耗用時間為O(n)。為了克服以上缺點，很多二叉尋找樹的變形出現了，如紅/黑樹狀結構、AVL樹，Treap樹等。

本文介紹了二叉尋找樹的一種改進資料結構–伸展樹（Splay Tree）。它的主要特點是不會保證樹一直是平衡的，但各種操作的平攤時間複雜度是O(log n)，因而，從平攤複雜度上看，二叉尋找樹也是一種平衡二叉樹。另外，相比於其他樹狀資料結構（如紅/黑樹狀結構，AVL樹等），伸展樹的空間要求與編程複雜度要小得多。

2、 基本操作

伸展樹的出發點是這樣的：考慮到局部性原理（剛被訪問的內容下次可能仍會被訪問，尋找次數多的內容可能下一次會被訪問），為了使整個尋找時間更小，被查頻率高的那些節點應當經常處於靠近樹根的位置。這樣，很容易得想到以下這個方案：每次尋找節點之後對樹進行重構，把被尋找的節點搬移到樹根，這種自調整形式的二叉尋找樹就是伸展樹。每次對伸展樹進行操作後，它均會通過旋轉的方法把被訪問節點旋轉到樹根的位置。

為了將當前被訪問節點旋轉到樹根，我們通常將節點自底向上旋轉，直至該節點成為樹根為止。“旋轉”的巧妙之處就是在不打亂數列中資料大小關係（指中序遍曆結果是全序的）情況下，所有基本操作的平攤複雜度仍為O（log n）。

伸展樹主要有三種旋轉操作，分別為單旋轉，一字形旋轉和之字形旋轉。為了便於解釋，我們假設當前被訪問節點為X，X的父親節點為Y（如果X的父親節點存在），X的祖父節點為Z（如果X的祖父節點存在）。

（1）    單旋轉

節點X的父節點Y是根節點。這時，如果X是Y的左孩子，我們進行一次右旋操作；如果X 是Y 的右孩子，則我們進行一次左旋操作。經過旋轉，X成為二叉尋找樹T的根節點，調整結束。

（2）    一字型旋轉

節點X 的父節點Y不是根節點，Y 的父節點為Z，且X與Y同時是各自父節點的左孩子或者同時是各自父節點的右孩子。這時，我們進行一次左左旋轉操作或者右右旋轉操作。

（3）    之字形旋轉

節點X的父節點Y不是根節點，Y的父節點為Z，X與Y中一個是其父節點的左孩子而另一個是其父節點的右孩子。這時，我們進行一次左右旋轉操作或者右左旋轉操作。

3、伸展樹區間操作

在實際應用中，伸展樹的中序遍曆即為我們維護的數列，這就引出一個問題，怎麼在伸展樹中表示某個區間。比如我們要提取區間[a,b]，那麼我們將a前面一個數對應的結點轉到樹根，將b 後面一個結點對應的結點轉到樹根的右邊，那麼根右邊的左子樹就對應了區間[a,b]。原因很簡單，將a 前面一個數對應的結點轉到樹根後， a 及a 後面的數就在根的右子樹上，然後又將b後面一個結點對應的結點轉到樹根的右邊，那麼[a,b]這個區間就是下圖中B所示的子樹。

利用區間操作我們可以實現線段樹的一些功能，比如回答對區間的詢問（最大值，最小值等）。具體可以這樣實現，在每個結點記錄關於以這個結點為根的子樹的資訊，然後詢問時先提取區間，再直接讀取子樹的相關資訊。還可以對區間進行整體修改，這也要用到與線段樹類似的延遲標記技術，即對於每個結點，額外記錄一個或多個標記，表示以這個結點為根的子樹是否被進行了某種操作，並且這種操作影響其子結點的資訊值，當進行旋轉和其他一些操作時相應地將標記向下傳遞。

與線段樹相比，伸展樹功能更強大，它能解決以下兩個線段樹不能解決的問題：

（1） 在a後面插入一些數。方法是：首先利用要插入的數構造一棵伸展樹，接著，將a 轉到根，並將a 後面一個數對應的結點轉到根結點的右邊，最後將這棵新的子樹掛到根右子結點的左子結點上。

（2）  刪除區間[a,b]內的數。首先提取[a,b]區間，直接刪除即可。

4、實現

代碼全部來自【參考資料2】。

（1）旋轉操作 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 // node 為結點類型，其中ch[0]表示左結點指標，ch[1]表示右結點指標   // pre 表示指向父親的指標   // Rotate函數用於（左/右）旋轉x->pre   void Rotate(node *x, int d) // 旋轉操作，d=0 表示左旋，d=1 表示右旋