資料結構之樹狀數組_資料結構

1、概述

樹狀數組(binary indexed tree)，是一種設計新穎的數組結構，它能夠高效地擷取數組中連續n個數的和。概括說，樹狀數組通常用於解決以下問題：數組{a}中的元素可能不斷地被修改，怎樣才能快速地擷取連續幾個數的和。

2、樹狀數組基本操作

傳統數組(共n個元素)的元素修改和連續元素求和的複雜度分別為O(1)和O(n)。樹狀數組通過將線性結構轉換成偽樹狀結構（線性結構只能逐個掃描元素，而樹狀結構可以實現跳躍式掃描），使得修改和求和複雜度均為O(lgn)，大大提高了整體效率。

給定序列（數列）A，我們設一個數組C滿足

C[i] = A[i–2^k+ 1] + … + A[i]

其中，k為i在二進位下末尾0的個數，i從1開始算。

則我們稱C為樹狀數組。

下面的問題是，給定i，如何求2^k?

答案很簡單：2^k=i&(i^(i-1)) ，也就是i&(-i)

下面進行解釋：

以i=6為例（注意：a_x表示數字a是x進位表示形式）：

(i)_10 = (0110)_2

(i-1)_10=(0101)_2

i xor (i-1) =(0011)_2

i and (i xor (i-1))  =(0010)_2

2^k = 2

C[6] = C[6-2+1]+…+A[6]=A[5]+A[6]

數組C的具體含義如下圖所示：

當我們修改A[i]的值時，可以從C[i]往根節點一路上溯，調整這條路上的所有C[]即可，這個操作的複雜度在最壞情況下就是樹的高度即O(logn)。另外，對於求數列的前n項和，只需找到n以前的所有最大子樹，把其根節點的C加起來即可。不難發現，這些子樹的數目是n在二進位時1的個數，或者說是把n展開成2的冪方和時的項數,因此，求和操作的複雜度也是O(logn)。

樹狀數組能快速求任意區間的和：A[i] + A[i+1] + … + A[j]，設sum(k) = A[1]+A[2]+…+A[k]，則A[i] + A[i+1] + … + A[j] = sum(j)-sum(i-1)。

下面給出樹狀數組的C語言實現： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 //求2^k   int lowbit( int t)   {        return t & ( t ^ ( t - 1 ) );   }   //求前n項和   int sum( int end)   {       int sum = 0;       while (end > 0)