資料結構複習之【圖】

一、基本術語

圖：由有窮、非空點集和邊集合組成，簡寫成G(V,E);

Vertex：圖中的頂點；

無向圖：圖中每條邊都沒有方向；

有向圖：圖中每條邊都有方向；

無向邊：邊是沒有方向的，寫為(a,b)

有向邊：邊是有方向的，寫為<a,b>

有向邊也成為弧；開始頂點稱為弧尾，結束頂點稱為弧頭；

簡單圖：不存在指向自己的邊、不存在兩條重複的邊的圖；

無向完全圖：每個頂點之間都有一條邊的無向圖；

有向完全圖：每個頂點之間都有兩條互為相反的邊的無向圖；

稀疏圖：邊相對於頂點來說很少的圖；

稠密圖：邊很多的圖；

權重：圖中的邊可能會帶有一個權重，為了區分邊的長短；

網：帶有權重的圖；

度：與特定頂點相串連的邊數；

出度、入度：對於有向圖的概念，出度表示此頂點為起點的邊的數目，入度表示此頂點為終點的邊的數目；

環：第一個頂點和最後一個頂點相同的路徑；

簡單環：除去第一個頂點和最後一個頂點後沒有重複頂點的環；

連通圖：任意兩個頂點都相互連通的圖；

極大連通子圖：包含竟可能多的頂點（必須是連通的），即找不到另外一個頂點，使得此頂點能夠串連到此極大連通子圖的任意一個頂點；

連通分量：極大連通子圖的數量；

強連通圖：此為有向圖的概念，表示任意兩個頂點a，b，使得a能夠串連到b，b也能串連到a 的圖；

產生樹：n個頂點，n-1條邊，並且保證n個頂點相互連通（不存在環）；

最小產生樹：此產生樹的邊的權重之和是所有產生樹中最小的；

AOV網：結點表示活動的網；

AOE網：邊表示活動的期間的網；

二、圖的儲存結構

1.鄰接矩陣

維持一個二維數組，arr[i][j]表示i到j的邊，如果兩頂點之間存在邊，則為1，否則為0；

維持一個一維數組，儲存頂點資訊，比如頂點的名字；

為一般的有向圖：

注意：如果我們要看vi節點鄰接的點，則只需要遍曆arr[i]即可；

 為帶有權重的圖的鄰接矩陣標記法：

 

缺點：鄰接矩陣標記法對於稀疏圖來說不合理，因為太浪費空間； 

2.鄰接表

如果圖示一般的圖，則如：

 如果是網，即邊帶有權值，則如：

3.十字鏈表

只針對有向圖；，適用於計算出度和入度；

頂點結點：

 

邊結點：

 

好處：建立的時間複雜度和鄰接鏈表相同，但是能夠同時計算入度和出度；

4.鄰接多重表

針對無向圖； 如果我們只是單純對節點進行操作，則鄰接表是一個很好的選擇，但是如果我們要在鄰接表中刪除一條邊，則需要刪除四個頂點（因為無向圖）；

在鄰接多重表中，只需要刪除一個節點，即可完成邊的刪除，因此比較方便；

因此鄰接多重表適用於對邊進行刪除的操作；

頂點節點和鄰接表沒區別，邊表節點如：

比如：

 

5.邊集數組

適合依次對邊進行操作；

儲存邊的資訊，如：

三、圖的遍曆DFS

思想：往深裡遍曆，如果不能深入，則回朔；

比如：

/** * O(v+e) */@Testpublic void DFS() {for (int i = 0; i < g.nodes.length; i++) {if (!visited[i]) {DFS_Traverse(g, i);}}}private void DFS_Traverse(Graph2 g, int i) {visited[i] = true;System.out.println(i);EdgeNode node = g.nodes[i].next;while (node != null) {if (!visited[node.idx]) {DFS_Traverse(g, node.idx);}node = node.next;}}

BFS

思想：對所有鄰接節點遍曆；

/** * O(v+e) */@Testpublic void BFS() {ArrayList<Integer> list = new ArrayList<Integer>();for (int i = 0; i < g.nodes.length; i++) {if (!visited[i]) {visited[i] = true;list.add(i);System.out.println(i);while (!list.isEmpty()) {int k = list.remove(0);EdgeNode current = g.nodes[k].next;while (current != null) {if (!visited[current.idx]) {visited[current.idx] = true;System.out.println(current.idx);list.add(current.idx);}current = current.next;}}}}}

四、最小產生樹prim鄰接矩陣儲存；

/** * 時間複雜度為O(n^2) * 適用於稠密圖 */@Testpublic void prim(){int cost[] = new int[9];int pre[] = new int[9];for(int i=0;i<g1.vertex.length;i++){cost[i] = g1.adjMatrix[0][i];}cost[0] = 0;for(int i=1;i<g1.vertex.length;i++){int min = 65536;int k = 0;for(int j=1;j<g1.vertex.length;j++){if(cost[j]!=0&&cost[j]<min){min = cost[j];k = j;}}cost[k] = 0;System.out.println(pre[k]+","+k);for(int j=1;j<g1.vertex.length;j++){if(cost[j]!=0&&g1.adjMatrix[k][j]<cost[j]){pre[j] = k;cost[j] = g1.adjMatrix[k][j];}}}}

krustral邊集數組儲存；

/** * 時間複雜度：O(eloge) * 適用於稀疏圖 */@Testpublic void krustral(){Edge[] edges = initEdges();int parent[] = new int[9];for(int i=0;i<edges.length;i++){Edge edge = edges[i];int m = find(parent,edge.begin);int n = find(parent,edge.end);if(m!=n){parent[m] = n;System.out.println(m+","+n);}}}private static int find(int[] parent, int f) {while (parent[f] > 0) {f = parent[f];}return f;}

五、最短路徑

dijkstra演算法鄰接矩陣儲存；

//O（n^2）@Testpublic void Dijkstra(){int distance[] = new int[9];int pre[] = new int[9];boolean finished[] = new boolean[9];finished[0] = true;for(int i=0;i<9;i++){distance[i] = g1.adjMatrix[0][i];}int k = 0;for(int i=1;i<9;i++){int min = 65536;for(int j=0;j<9;j++){if(!finished[j]&&distance[j]<min){min = distance[j];k = j;}}finished[k] = true;System.out.println(pre[k]+","+k);for(int j=1;j<9;j++){if(!finished[j]&&(min+g1.adjMatrix[k][j])<distance[j]){distance[j] = min+g1.adjMatrix[k][j];pre[j] = k;}}}}

Floyd使用：(1)鄰接矩陣：儲存圖；

/** * O(n^3) * 求出任意頂點之間的距離 */@Testpublic void floyd(Graph1 g) {int i, j, k;int length = g.vertex.length;int dist[][] = new int[length][length];int pre[][] = new int[length][length];for (i = 0; i < g.vertex.length; i++) {for (j = 0; j < g.vertex.length; j++) {pre[i][j] = j;dist[i][j] = g.adjMatrix[i][j];}}for (i = 0; i < length; i++) {for (j = 0; j < g.vertex.length; j++) {for (k = 0; k < g.vertex.length; k++) {if (dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]) {dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];pre[i][j] = pre[i][k];}}}}System.out.println();}

六、拓撲排序

使用資料結構：

(1)棧：用來存放入度為0的節點；

(2)變種鄰接列表：作為圖的儲存結構；此鄰接列表的頂點節點還需要存放入度屬性；

/*** O(n+e)*/private static String topologicalSort(Graph2 g2) {Stack<Integer> s = new Stack<Integer>();int count = 0;for(int i=0;i<g2.nodes.length;i++){if(g2.nodes[i].indegree==0){s.push(i);}}while(!s.isEmpty()){int value = s.pop();System.out.println(value+"、");count++;EdgeNode node = g2.nodes[value].next;while(node!=null){g2.nodes[node.idx].indegree--;if(g2.nodes[node.idx].indegree==0){s.push(node.idx);}node = node.next;}}if(count<g2.nodes.length){return "error";}return "ok";}

七、關鍵路徑使用資料結構：(1)變種鄰接列表：同拓撲排序；(2)變數：ltv表示某個事件的最晚開始時間；etv表示事件最早開始時間；ete表示活動最早開始時間；lte表示活動最晚開始時間；

//O（n+e）@Testpublic void CriticalPath(){Stack<Integer> stack = topological_etv();int length = stack.size();if(stack==null){return ;}else{int[]ltv = new int[length];for(int i=0;i<stack.size();i++){ltv[i] = etv[stack.size()-1];}//從拓撲排序的最後開始計算ltvwhile(!stack.isEmpty()){int top = stack.pop();EdgeNode current = g.nodes[top].next;while(current!=null){int idx = current.idx;//最晚發生時間要取所有活動中最早的if((ltv[idx]-current.weight)<ltv[top]){ltv[top] = ltv[idx]-current.weight;}}}int ete = 0;int lte = 0;for(int j=0;j<length;j++){EdgeNode current = g.nodes[j].next;while(current!=null){int idx = current.idx;ete = etv[j];lte = ltv[idx]-current.weight;if(ete==lte){//是關鍵路徑}}}}}private Stack<Integer> topological_etv(){Stack<Integer> stack2 = new Stack<Integer>();Stack<Integer>stack1 = new Stack<Integer>();for(int i=0;i<g.nodes.length;i++){if(g.nodes[i].indegree==0){stack1.add(i);}}etv[] = new int[g.nodes.length];int count = 0;while(!stack1.isEmpty()){int top = stack1.pop();count++;stack2.push(top);EdgeNode current = g.nodes[top].next;while(current!=null){int idx = current.idx;if((--g.nodes[idx].indegree)==0){stack1.push(idx);}if((etv[top]+current.weight)>etv[idx]){etv[idx] = etv[top]+current.weight;}current = current.next;}}if(count<g.nodes.length){return null;}return stack2;}