『資料結構』RMQ 問題__資料結構

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)，即區間最值問題。

對於長度為 n 的數列 A ，回答若干查詢 RMQ(A,i,j)(i,j<=n) ，返回數列 A 中下標在 i,j 裡的最大(小)值。

  相關演算法 樸素（搜尋），時間複雜度： O(n)−O(q×n) O(n)-O(q×n) ，online 線段樹，時間複雜度： O(n)−O(q×logn) O(n)-O(q×\log n) ，online ST（動態規劃），時間複雜度： O(n×logn)−O(q) O(n×\log n)-O(q) ，online RMQ標準演算法，先規約為 LCA ，再規約成約束 RMQ ，時間複雜度： O(n)−O(q) O(n)-O(q) ，online

  ST 演算法

假設當前題目要求區間最小值，我們令 dp[i][j] 代表從 i 開始，長度為 2j 2^j 這段區間的最小值。

於是便有： dp[i][j]=min(dp[i][j−1],dp[i+2j−1][j−1]) dp[i][j]=\min(dp[i][j-1],dp[i+2^{j-1}][j-1])

分析可知， dp[i][j−1] dp[i][j-1] 代表從 i 開始，長度為 2j 2^j 區間一半中的最小值，而 dp[i+2j−1][j−1] dp[i+2^{j-1}][j-1] 即為區間的另一半。

 

最終（從下往上看）：

	dp[0][*]	dp[1][*]	dp[2][*]	dp[3][*]	dp[4][*]	dp[5][*]	dp[6][*]	dp[7][*]
dp[*][3]	1
dp[*][2]	1	1	1	5	2
dp[*][1]	3	1	1	5	7	6	2
dp[*][0]	4	3	1	5	7	8	6	2

 

寫一組資料，自己動手類比一遍就可以理解咯~

  預先處理

根據狀態轉移方程，首先指定當區間長度為 20 2^0 時的各初始值，隨後推出後面的結果。

void ST_Init(const vector<int> &A){    int n=A.size();    for(int i=0; i<n; i++)        dp[i][0]=A[i];    for(int j=1; (1<<j)<=n; j++)        for(int i=0; i+(1<<j)<=n; i++)            dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);}

  查詢

預先處理出整個 dp 數組以後，查詢操作很簡單，令 k 為滿足 2k<=R−L+1 2^k 的最大整數，則以 L 開頭、以 R 結尾的兩個長度為 2k 2^k 的區間合起來即覆蓋了查詢區間 [L,R] 。

int RMQ(int L,int R){    int k=0;    while((1<<(k+1))<=R-L+1)k++;    return min(dp[L][k],dp[R-(1<<k)+1][k]);}

  線段樹

嗯。怎麼說呢。感覺線段樹在這種類型的題目中好像是最萬能的方法了。

無論是 [點修改 + 查詢] 還是 [區間修改 + 查詢] ，它都可以做到 O(logn) O(\log n) 的複雜度，而且線上段樹中我們也可以維護好多好多東西（區間和、最值等）。

當然，除了一維情況下的普通線段樹，還有在二維平面中的線段樹，類似的也可以實現三維、四維。。。（啊。千千你要做什麼o((>ω< ))o）

 

好啦~

對於一維中的線段樹，我們想要查詢某個區間的最值，首先就應該建樹咯~（具體方法省略）

而在查詢時，我們可以從根節點向下遞迴搜尋，如下圖，假設查詢區間為 [2,6] 。

將 [2,6] 這一個大區間分解為不相交的三個小區間 [2,3]、[4,5]、[6] ，而最終的結果便由這三個節點中所維護的資訊決定咯。

我們假設查詢還是區間最小值，於是最終的結果為