資料結構-排序: 插入排序(直接插入排序法)

插入排序(Insertion Sort)的基本思想是：每次將一個待排序的記錄，按其關鍵字大小插入到前面已經排好序的子檔案中的適當位置，直到全部記錄插入完成為止。
    　本節介紹兩種插入排序方法：直接插入排序和希爾排序。
1．直接插入排序的基本思想
直接插入排序（Straight Insertion Sorting）的基本思想是：把n個待排序的元素看成為一個有序表和一個無序表，開始時有序表中只包含一個元素，無序表中包含有n-1個元素，排序過程中每次從無序表中取出第一個元素，將它插入到有序表中的適當位置，使之成為新的有序表，重複n-1次可完成排序過程。
把a[i]插入到a[0]，a[1]，...,a[i-1]之中的具體實施過程為:先把a[i]賦值給變數t,然後將t依次與a[i-1],a[i-2],...進行比較,將比t大的元素右移一個位置,直到發現某個j(0<=j<=i-1),使得a[j]<=t或j為(-1),把t賦值給a[j+1].

2、第i-1趟直接插入排序：
    　通常將一個記錄R[i](i=2，3，…，n-1)插入到當前的有序區，使得插入後仍保證該區間裡的記錄是按關鍵字有序的操作稱第i-1趟直接插入排序。
    　排序過程的某一中間時刻，R被劃分成兩個子區間R[1．．i-1]（已排好序的有序區）和R[i．．n]（當前未排序的部分，可稱無序區）。
    　直接插入排序的基本操作是將當前無序區的第1個記錄R[i]插人到有序區R[1．．i-1]中適當的位置上，使R[1．．i]變為新的有序區。因為這種方法每次使有序區增加1個記錄，通常稱增量法。
    　插入排序與打撲克時整理手上的牌非常類似。摸來的第1張牌無須整理，此後每次從桌上的牌(無序區)中摸最上面的1張並插入左手的牌(有序區)中正確的位置上。為了找到這個正確的位置，須自左向右(或自右向左)將摸來的牌與左手中已有的牌逐一比較。

一趟直接插入排序方法

1．簡單方法
    　首先在當前有序區R[1..i-1]中尋找R[i]的正確插入位置k(1≤k≤i-1)；然後將R[k．．i-1]中的記錄均後移一個位置，騰出k位置上的空間插入R[i]。
  注意：
    　若R[i]的關鍵字大於等於R[1．．i-1]中所有記錄的關鍵字，則R[i]就是插入原位置。

2．改進的方法
　　一種尋找比較操作和記錄移動操作交替地進行的方法。
具體做法：
    　將待插入記錄R[i]的關鍵字從右向左依次與有序區中記錄R[j](j=i-1，i-2，…，1)的關鍵字進行比較：
    　① 若R[j]的關鍵字大於R[i]的關鍵字，則將R[j]後移一個位置；
      ②若R[j]的關鍵字小於或等於R[i]的關鍵字，則尋找過程結束，j+1即為R[i]的插入位置。
    　關鍵字比R[i]的關鍵字大的記錄均已後移，所以j+1的位置已經騰空，只要將R[i]直接插入此位置即可完成一趟直接插入排序。

直接插入排序演算法

1．演算法描述
 

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;

namespace ExInsertionSorter
{
    public class InsertionSorter
    {
        public void Sort(int[] arr)
        {
            for (int i = 1; i < arr.Length; i++)
            {
                int t = arr[i];
                int j = i;
                while ((j > 0) && (arr[j - 1] > t))
                {
                    arr[j] = arr[j - 1];//交換順序
                    --j;
                }
                arr[j] = t;
            }
        }
        static void Main(string[] args)
        {
            int[] array = new int[] { 1, 5, 3, 6, 10, 55, 9, 2, 87, 12, 34, 75, 33, 47 };
            InsertionSorter i = new InsertionSorter();
            i.Sort(array);
            foreach (int m in array)
                Console.WriteLine("{0}", m);
        }
    }
}

4、直接插入排序的效率分析
（1）時間複雜度
從時間分析，首先外層迴圈要進行n-1次插入，每次插入最少比較一次（正序），移動兩次；最多比較i次，移動i＋2次（逆序）（i=1，2，…，n-1）。若分別用Cmin ，Cmax 和Cave表示元素的總比較次數的最小值、最大值和平均值，用Mmin ，Mmax 和Mave表示元素的總移動次數的最小值、最大值和平均值，則上述直接插入演算法對應的這些量為：
Cmin=n-1 Mmin=2（n-1）
Cmax=1+2+…+n-1=（n2-n）/2 Mmax=3+4+…+n+1=（n2+3n-4）/2
Cave=（n2+n-2）/4 Mmax=（n2+7n-8）/4
因此，直接插入排序的時間複雜度為O（n2）。

由上面對時間複雜度的分析可知,當待排序元素已從小到大排好序(正序)或接近排好序時,所用的比較次數和移動次數較少;當待排序元素已從大到小排好序(逆序)或接近排好序時,所用的比較次數和移動次數較多,所以插入排序更適合於未經處理資料基本有序(正序)的情況.

插入法雖然在最壞情況下複雜性為O(n2)，但是對於小規模輸入來說，插入排序法是一個快速的排序法。許多複雜的排序法，在規模較小的情況下，都使用插入排序法來進行排序，比如快速排序。

（2）空間複雜度
首先從空間來看，它只需要一個元素的輔助空間，用於元素的位置交換O(1)

（3）穩定性:
插入排序是穩定的,因為具有同一值的元素必然插在具有同一值得前一個元素的後面,即相對次序不變.

（4）結構的複雜性及適用情況

插入排序是一種簡單的排序方法,他不僅適用於順序儲存結構(數組),而且適用於連結儲存結構,不過在連結儲存結構上進行直接插入排序時,不用移動元素的位置,而是修改相應的指標。

 

2．哨兵的作用
    　演算法中引進的附加記錄R[0]稱監視哨或哨兵(Sentinel)。
   　 哨兵有兩個作用：
　　① 進人尋找(插入位置)迴圈之前，它儲存了R[i]的副本，使不致於因記錄後移而丟失R[i]的內容；
　　② 它的主要作用是：在尋找迴圈中"監視"下標變數j是否越界。一旦越界(即j=0)，因為R[0].key和自己比較，迴圈判定條件不成立使得尋找迴圈結束，從而避免了在該迴圈內的每一次均要檢測j是否越界(即省略了迴圈判定條件"j>=1")。
  注意：
　  ① 實際上，一切為簡化邊界條件而引入的附加結點(元素)均可稱為哨兵。
　　  【例】單鏈表中的頭結點實際上是一個哨兵
　　② 引入哨兵後使得測試尋找迴圈條件的時間大約減少了一半，所以對於記錄數較大的檔案節約的時間就相當可觀。對於類似於排序這樣使用頻率非常高的演算法，要儘可能地減少其已耗用時間。所以不能把上述演算法中的哨兵視為雕蟲小技，而應該深刻理解並掌握這種技巧。

給定輸入執行個體的排序過程

    　設待排序的檔案有8個記錄，其關鍵字分別為：49，38，65，97，76，13，27，49。為了區別兩個相同的關鍵字49，後一個49的下方加了一底線以示區別。其排序過程見【動畫類比示範】

演算法分析

1．演算法的時間效能分析 
    　對於具有n個記錄的檔案，要進行n-1趟排序。
    各種狀態下的時間複雜度：
┌─────────┬─────┬──────┬──────┐
│ 初始檔案狀態     │   正序   │     反序   │無序(平均)  │
├─────────┼─────┼──────┼──────┤
│ 第i趟的關鍵      │   1      │     i+1    │ （i-2）/2  │
│ 字比較次數       │          │            │            │
├─────────┼─────┼──────┼──────┤
│總關鍵字比較次數  │   n-1    │(n+2)(n-1)/2│ ≈n2/4     │
├─────────┼─────┼──────┼──────┤
│第i趟記錄移動次數 │   0      │ i+2        │ （i-2）/2  │
├─────────┼─────┼──────┼──────┤
│總的記錄移動次數  │   0      │(n-1)(n+4)/2│ ≈n2/4     │
├─────────┼─────┼──────┼──────┤
│時間複雜度        │  0（n）  │ O（n2）    │ O（n2）    │
└─────────┴─────┴──────┴──────┘
注意：
    　初始檔案按關鍵字遞增有序，簡稱"正序"。
　    初始檔案按關鍵字遞減有序，簡稱"反序"。

2．演算法的空間複雜度分析
    　演算法所需的輔助空間是一個監視哨，輔助空間複雜度S(n)=O(1)。是一個就地排序。

3．直接插入排序的穩定性
    　直接插入排序是穩定的排序方法。